Článek
Proč se v tom tolik lidí splete?
Většina lidí tipuje intuitivně. Osm procent ročně? Tak přece stačí to vzít jako 100 ÷ 8 a vyjde nám zhruba 12 nebo 13 let. Další řeknou rovnou 10 let, protože se jim to „zdá akorát“. Někdo zase střelí 15 let, aby byl na bezpečné straně. Jenže žádná z těchto odpovědí není správná, pokud nepočítáte se složeným úročením.
Klíčový háček je v tom, že 8 % se každý rok nepočítá z původní ceny, ale z ceny aktuální. Růst se tedy rok od roku zrychluje.
Zkuste to nejdřív sami
Vezměte si byt za libovolnou cenu. Každý rok jeho hodnota vzroste o 8 % z aktuální ceny. Za kolik celých let bude cena poprvé vyšší než dvojnásobek té původní?
Jak na to krok za krokem
Označme původní cenu bytu jako P. Po jednom roce bude cena P × 1,08. Po dvou letech P × 1,08². Po n letech tedy P × 1,08ⁿ.
Hledáme nejmenší celé číslo n, pro které platí:
P × 1,08ⁿ > 2P
P můžeme z obou stran vydělit (je kladné), takže řešíme:
1,08ⁿ > 2
Matematické řešení pomocí logaritmů
Kdo chce být přesný, vyřeší nerovnici logaritmem:
1,08ⁿ > 2
n > log(2) ÷ log(1,08)
n > 0,6931 ÷ 0,07696
n > 9,006
Protože n musí být celé číslo a po 9 letech dvojnásobek ještě nepřekonáme, správná odpověď je 10 let.
Správná odpověď
Byt s ročním růstem 8 % překročí dvojnásobek své původní ceny za 10 let.
Proč to stojí za zapamatování
Pokud jste odpověděli správně a ještě k tomu rychle, máte opravdu dobré matematické myšlení. Složené úročení je jeden z nejmocnějších konceptů ve financích a většina lidí jeho sílu podceňuje. Albert Einstein ho prý nazval „osmým divem světa“. Kdo mu rozumí, má obrovskou výhodu při každém finančním rozhodování.
