Článek
Co většina lidí odpoví
Naprostá většina čtenářů to spočítá takto: za rok vložím dvanáctkrát dva tisíce, to je 24 000 Kč. Úrok je 0,3 % měsíčně, což dělá 3,6 % ročně. Z 24 000 Kč je to 864 Kč. Výsledek tedy 24 864 Kč.
Jiní jsou ještě skromnější a odpoví rovnou 24 000 Kč s tím, že úrok je tak malý, že se nevyplatí řešit. A další odpoví 24 072 Kč, protože spočítají jen 0,3 % z celkové roční částky.
Všechny tři odpovědi jsou špatně.
Zkuste to sami
Než se podíváte na řešení, zkuste si úlohu spočítat. Pozor na to, kdy se jednotlivé vklady připisují a kolikrát se každý z nich zúročí.
Proč intuice selhává
Klíčový omyl je v tom, že lidé počítají úrok, jako by celá roční částka 24 000 Kč ležela na účtu celý rok. Jenže tak to nefunguje. První vklad se zúročí dvanáctkrát, druhý jedenáctkrát, třetí desetkrát a poslední prosincový vklad se nezúročí vůbec, protože přijde na účet až na konci období.
Navíc úrok 0,3 % měsíčně neznamená 3,6 % ročně. Díky složenému úročení je efektivní roční sazba vyšší, protože úrok z prvního měsíce se v druhém měsíci úročí znovu, a tak dále.
Správný postup výpočtu
Pro pravidelné měsíční vklady s úrokem na konci každého měsíce platí vzorec pro budoucí hodnotu anuity.
Budoucí hodnota = vklad × [((1 + r)^n − 1) / r]
Dosadíme: vklad = 2 000 Kč, r = 0,003 (tedy 0,3 %), n = 12 měsíců.
Nejprve spočítáme (1,003)^12. To je zhruba 1,03659, což mimochodem znamená, že skutečná roční úroková sazba není 3,6 %, ale přibližně 3,66 %.
Dále (1,03659 − 1) / 0,003 = 0,03659 / 0,003 ≈ 12,1967.
Nakonec 2 000 × 12,1967 ≈ 24 393 Kč.
Po roce tedy máte na účtu přibližně 24 393 Kč.
O kolik jste se spletli
Rozdíl mezi chybnou odpovědí 24 864 Kč a správnou 24 393 Kč je asi 471 Kč. Kdo odpověděl 24 072 Kč, minul se o 321 Kč na druhou stranu. A kdo tipnul rovných 24 000 Kč, podcenil výsledek skoro o 400 Kč.
Ukazuje se tedy, že intuice při skládání úroků vlastně nefunguje vůbec dobře. Jedni úrok přeceňují, protože zapomínají, že vklady nejsou na účtu od začátku. Druzí ho podceňují, protože přehlížejí sílu složeného úročení.
Proč na tom záleží
Tohle není jen matematická hříčka. Při delším horizontu spoření nebo hypotéce se z drobných chyb v odhadu stávají tisíce a desetitisíce korun. Kdo neumí správně spočítat budoucí hodnotu pravidelných vkladů, neumí ani porovnat nabídky bank nebo plánovat, kolik si naspoří za pět či deset let.
Úloha o spoření 2 000 Kč měsíčně při úroku 0,3 % měsíčně je typickým příkladem toho, jak finanční matematika klame. Kdo řekne 24 864 Kč, nemá správně. Kdo řekne 24 072 Kč nebo 24 000 Kč, nemá správně také. Správná odpověď vyžaduje pochopit, jak se úrok skládá a jak se načítá na postupně přibývající vklady.
