Článek
Zadání úlohy
V jednom království stojí tři majestátní věže, každá s jiným počtem pater a různým počtem oken na každém patře. Tato architektonická záhada skrývá zajímavý matematický hlavolam, který prověří vaše logické myšlení a schopnost práce s rovnicemi.
Co víme o věžích?
O třech věžích máme následující informace:
1. Součet pater všech tří věží je 30.
2. Součin pater první a druhé věže je o 145 větší než počet pater třetí věže.
3. Průměrný počet oken na patře první věže je 8.
4. Průměrný počet oken na patře druhé věže je 6.
5. Celkový počet oken na všech třech věžích je 400.
6. Druhá věž má o 5 pater méně než první věž.
Otázka:
Kolik oken je v nejvyšší věži?
Řešení
Pojďme si ukázat, jak lze tuto úlohu systematicky vyřešit.
Postup řešení
1. Označení proměnných:
- První věž: p1 pater
- Druhá věž: p2 pater
- Třetí věž: p3 pater
2. Z podmínky o rozdílu pater:
- p2 = p1 - 5
3. Z podmínky o celkovém počtu pater:
- p1 + p2 + p3 = 30
- p1 + (p1 - 5) + p3 = 30
- 2p1 + p3 = 35 (rovnice 1)
4. Ze součinu pater:
- p1 × p2 = p3 + 145
- p1 × (p1 - 5) = p3 + 145
- p1² - 5p1 = p3 + 145 (rovnice 2)
5. Sestavení kvadratické rovnice:
- Z rovnice 1: p3 = 35 - 2p1
- Z rovnice 2: p3 = p1² - 5p1 - 145
- 35 - 2p1 = p1² - 5p1 - 145
- p1² - 3p1 - 180 = 0
6. Řešení kvadratické rovnice:
- p1 = 15 (druhé řešení je záporné)
7. Výpočet počtu pater jednotlivých věží:
- První věž: 15 pater
- Druhá věž: 10 pater (15 - 5)
- Třetí věž: 5 pater (30 - 15 - 10)
8. Výpočet počtu oken:
- První věž: 15 pater × 8 oken = 120 oken
- Druhá věž: 10 pater × 6 oken = 60 oken
- Třetí věž: 220 oken (celkem 400 - 120 - 60)
Odpověď
Nejvyšší věž je první věž a má 120 oken.
Ověření všech podmínek
- ✓ Součet pater je 30
- ✓ 15 × 10 = 150, což je o 145 více než počet pater třetí věže (5)
- ✓ Průměrné počty oken odpovídají zadání
- ✓ Celkový počet oken je 400
- ✓ Druhá věž má o 5 pater méně než první
Závěr
Tato logická úloha ukazuje, jak lze pomocí systematického postupu a algebraických úprav dojít ke správnému řešení.
