Článek
Zadání: Pravidelnému čtyřstěnu je vepsána koule a té další pravidelný čtyřstěn. Jaký je poměr objemů obou čtyřstěnů?
Nápověda 1: Čtyřstěny nejsou látka ZŠ, takže o nich nemusíte vědět nic (kromě toho, co to je); stačí vědět něco o rovnostranném trojúhelníku a mít trochu prostorové představivosti.
Nápověda 2: Pokud tápete, zkuste vyřešit dvojrozměrnou analogii: rovnostrannému trojúhelníku je vepsána kružnice a té další rovnostranný trojúhelník; jaký je poměr obsahů trojúhelníků? To budete mít raz dva (bez jakýchkoli výpočtů), pak se vraťte k původní úloze.
Řešení: Koule se vnějšího čtyřstěnu dotýká ve středech stěn. Dotykové body jsou vrcholy vepsaného čtyřstěnu. Protože střed rovnostranného trojúhelníku je ve třetině jeho výšky (to je ta znalost ze ZŠ), je výška (a tudíž i ostatní rozměry) vepsaného čtyřstěnu třetina výšky čtyřstěnu opsaného a jeho objem (1/3)³=1/27 objemu většího čtyřstěnu. Výsledek je tedy 27:1. Pro zajímavost dodejme, že stejná úloha v n-rozměrném prostoru má řešení nⁿ:1, speciálně pro úlohu z Nápovědy 2 je to 4:1.
