Jak naučit psa počítat: na návštěvě v Egyptě a starém Babylónu

Posledně jsme si řekli o objevu čísel. Čísla jsou abstraktní pojmy – něco, co je společného všem skupinám s daným počtem věcí. Například všem pěticím čehokoli je společné číslo pět, všem šesticím je společné číslo šest atd. Prozatím nám bude stačit toto vysvětlení, ale znovu se k němu ještě někdy vrátíme. Na dnešek jsem si připravil krátké povídání o starém Egyptě a Babylónu. Protože naše povídání už začalo být trochu náročnější, musel jsem si pro obě psí holky připravit hromadu pamlsků.

Čísla můžeme zapsat a vyjádřit mnoha různými způsoby – stejné číslo můžeme vyjádřit v mnoha různých číselných soustavách a zapsat je pomocí rozličných číslovek, znaků pro čísla. Například pro číslo šest používáme dnes číslovku 6, v antickém Římě používali číslovku VI. V naší desítkové soustavě zapíšeme číslo šest pomocí znaku 6, ve dvojkové soustavě bychom je zapsali jako 110. Podrobněji si to vysvětlíme ještě někdy jindy. Teď ale k dnešnímu tématu.

„Tak holky, dnes bych vám chtěl ukázat, jak počítali lidé v Egyptě a ve starověkém Babylónu,“ pokusil jsem se je navnadit. „Pokud jsem to pochopil správně,“ pokračoval jsem, „tak Egypťané i Babylóňané objevili způsoby počítání, které opravdu používáme až dodnes.“

Gája zívla, proto jsem se ji pokusil probudit: „Zrovna ty bys měla poslouchat. Právě v Egyptě totiž prý našli archeologové na stěnách pyramid obrázek, na kterém je pejsek, který vypadá jako dalmatin. Jsou tam zobrazeni psi se stejnými skvrnami, jak máš ty, a ti pejsci běží vedle vozů. Možná tedy psi podobní dalmatinům již v té době doprovázeli vozy. Pamatuješ si přece, jak jsem ti kdysi vyprávěl, že dalmatini byli pejsci u dvora a říkalo se jim kočároví psi. Jste totiž velmi dobří běžci a tvoji předkové tedy utíkali prý před kočárem, kde se vezla nějaká šlechtična, a uvolňovali mu cestu. Stejnou roli ještě někdy před sto lety zastávali dalmatini v Americe, kde běželi před hasičskou stříkačkou, která spěchala k požáru. Proto jsou dodnes dalmatini v Americe oblíbenými maskoty hasičů.“

„To jo, já jsem moc dobrý běžec,“ usmála se Gája. Je na to, jaká je dobrá sprinterka i běžkyně na dlouhé vzdálenosti, náležitě pyšná.

„Vidíš, jak starobylé plemeno jsou možná dalmatini. Ale pojďme si povídat o počítání. Egypťané totiž používali desítkovou číselnou soustavu, kterou dnes už považujeme za naprostou samozřejmost. V této soustavě je základem číslo deset a jeho mocniny, tedy dále čísla sto, tisíc, deset tisíc, a tak pořád dál. My dnes používáme poziční desítkovou soustavu, kde pro jednotky, desítky, stovky a tisíce můžeme používat stejné číslovky; při našem zápisu čísla pak záleží na pořadí, na pozici – proto je to poziční soustava. Egypťané také používali desítkovou soustavu, ale ta jejich nebyla poziční – jednotky zapisovali pomocí čárky a pro desítky, stovky, tisíce a tak dále, měli už jiné symboly. Egyptské číslovky tedy vypadaly nějak takhle,“ vytvořil jsem v počítači jednoduchou tabulku a do ní vložil znaky, které jsem našel na internetu:

Naše číslo 123 bychom pomocí těchto znaků, hieroglyfů, zapsali třeba takhle:

Protože ale egyptský systém není poziční a nezáleží na pořadí znaků, můžeme je zapsat klidně také obráceně:

V našem číselném systému, který je poziční, ale na pořadí záleží, a 321 je úplně jiné číslo než 123. Pokud těch znaků bylo hodně, pak ve shodě s pravidlem čtyř Egypťané tyto znaky sdružovali do menších a snadněji čitelných skupinek.

Kupříkladu číslo 1249 můžeme zapsat jako:

Anebo klidně v obráceném pořadí jako:

A zkusme zapsat nějaké pořádně velké číslo, například 2 654 469:

„A můžeme to číslo zapsat i obráceně?“ zeptala se Gája, která výjimečně dávala pozor.

„Ano, můžeme je samozřejmě zapsat i obráceně,“ pochválil jsem ji. „Ale teď si předvedeme, jak staří Egypťané počítali,“ pokračoval jsem. „Při násobení dvou čísel totiž používali jednoduchý počítací trik, který se dá použít dodnes. Představme si kupříkladu, že máme vypočítat součin 13 × 42. Egypťané by postupovali tak, že by si nejprve připravili vhodné násobky čísla 42 a ty by pak sečetli. Protože platí 13 = 1 + 2 + 10, můžeme si připravit potřebné násobky:

Součin 13 ×42 dostaneme jednoduše tak, že všechny tyto násobky spolu sečteme. Jinými slovy, 13 × 42 je totéž jako 42 + 84 + 420 = 546.“

Psí holky na mne nevěřícně koukaly, musel jsem jim tedy tento trik trochu blíže vysvětlit. Egyptský trik s násobením je totiž založen na důležitém matematickém zákonu, distributivitě násobení vůči sčítání. Máme-li kupříkladu vypočítat součin 8 ×(7 + 5), je to stejné, jako když počítáme součin 8 × 7 + 8 × 5, tedy 8 × (7 + 5) = 8 × 7 + 8 × 5. Pro násobení 13 × 42 tak stačí, když najdeme taková čísla, z nichž lze poskládat číslo 13, a u nichž se nám počítají násobky čísla 42 jednodušeji. Stejně to ale funguje i pro jakákoli jiná čísla, záleží jenom na naší šikovnosti a na tom, jak rychle potom dovedeme ty částečné součiny sečítat.

Můžeme to ale zkusit i obráceně. Velmi snadno dovedu z hlavy vypočítat kupříkladu následující výpočet:

Stačí si totiž všimnout, že ve výpočtu vlastně násobíme číslo 42 číslem 35 + 65 a to se rovná 100. A číslem 100 se násobí velmi jednoduše:

Zkusil jsem tedy psím holkám předvést ještě několik výpočtů egyptským způsobem. Například pro součin 24 ×29 si můžeme nejdříve připravit tyto násobky:

Ten první součin vlastně potřebuju jednom proto, aby se mi snadněji počítal ten druhý součin, a dále jej už nepotřebuju. Platí tedy:

Egyptským způsobem můžeme také počítat druhé a třetí mocniny čísel a podobně. Připomeňme, že druhou mocninou čísla rozumíme součin čísla se sebou samým. Spočítejme například 642 = 64 × 64. Můžeme k tomu využít třeba tyto násobky (první je opět jenom pomocný):

A protože 64 = 4 + 20 +40, dostaneme:

A ještě zkusíme poslední výpočet, například 47 × 551. Připravíme si násobky:

Protože platí 47 = 1 + 2 + 4 + 40, dostaneme:

Tuto metodu můžeme použít i pro dělení. To si ale necháme až někdy na příště.

Protože nás tohle počítání trochu unavilo, vzal jsem několik piškotů a šli jsme se vyvenčit na zahradu. Psí holky po návratu domů spokojeně ulehly do svých pelíšků. Povídání o Babylóňanech jsme si nechali na další den. Protože byl víkend, mohli jsme dlouho spát a těšit se na velkou sobotní procházku.

* * * * * *

Sobota se nám krásně vyvedla a užili jsme si krásnou procházku lesem. Na louce za lesem psí dámy urputně a poctivě prohledaly spoustu myších děr a dalmatinka Gája dokonce několik myší ulovila. Zato neděle nestála za nic. Celý den jen pršelo a ven do sychravého deště se opravdu nechtělo mně ani psům.

„To je ale hrozné počasí,“ poznamenala nevrle Gája. „Úplně jako při babylónské potopě.“

„Pfff, prý babylónská potopa,“ odfrkla si Gerda. „Ty jsi z toho našeho povídání o Egyptě a Babylónu úplně pitomá. Správně se říká biblická potopa,“ pronesla povýšeně s nosem nahoru.

„Zlatíčko, ona má vlastně pravdu,“ poznamenal jsem. Gája se usmála svým dalmatiním zubatým úsměvem a ocasem několikrát radostně zabušila ocasem do pelíšku.

Vysvětlil jsem psím holkám, že o té biblické potopě se opravdu poprvé píše v babylónském příběhu, který je známý jako Epos o Gilgamešovi. Dnešní badatelé se domnívají, že těch shod ve starším babylónském eposu a v biblickém příběhu v knize Genesis, je tolik, že se nemůže jednat o náhodu. Autoři knihy Genesistedy ten nádherný Epos o Gilgamešoviurčitě znali a v trochu jiné podobě jej převyprávěli svým současníkům. Pravděpodobně hlavním rozdílem mezi oběma vyprávěními je to, že zatímco babylónští bohové spustili potopu vlastně z rozmaru a malicherných důvodů – lidé prý dělali příliš velký „kravál“ a rušili je při nebeských radovánkách, biblický Bůh se rozhodl zničit svět kvůli zkaženosti pradávného lidstva a jeho hříchům.

„Tolik tedy k té biblické nebo babylónské potopě,“ skončil jsem své vyprávění a dal psím dámám najevo, že vlastně obě měly pravdu. „Dnes si ale kvůli té dnešní potopě, když se nedá dělat nic jiného, můžeme povídat o babylónské matematice. Přibližně v době, kdy vznikl Epos o Gilgamešovi, tedy někdy čtyřmi až třemi a půl tisíci lety, už matematikové nepoužívali počítací džbány a hliněné destičky s různými znaky, jaké jsme si ukázali dříve, ale vyvinuli docela nový počítací systém.“

„Pomocí rydla z rákosového stébla dělali do hliněných tabulek značky, kterým se pro jejich tvar říká klínové písmo. V případě matematiky jsou pro nás nejdůležitější dva znaky, kterým můžeme říkat hřeb a křídlo – pomocí hřebů zapisujeme jednotky a pomocí křídel desítky:“

„To ale vypadá dost podobně, jako u Egyptské matematiky,“ poznamenala netrpělivě Gerda. Trpělivost, s tím mají pejsci obvykle problémy.

„Přesně tak,“ přidala se k ní Gája a zívla, která se už zjevně nudila.

„Právě tady ale veškeré podobnosti končí. Babylónský zápis je totiž poziční, neboli záleží na pořadí a pozici, v jakém příslušné znaky napíšeme. Například číslo 25 zapíšeme takhle:“

„Naproti tomu následující zápis neznamená 25 se znaky v jiném pořadí jako u Egypťanů, ale vlastně si nejsem vůbec jistý, jestli něco smysluplného doopravdy znamená:“

„Cože?“ protáhla udiveně obličej Gerda. „Znamená to tedy něco nebo ne?“

„To vám zatím neprozradím. Musíme si totiž ukázat další obrovskou odlišnost od egyptské matematiky. Tento babylónský zápis je totiž nejenom poziční, ale navíc využívá šedesátkovou soustavu.“

Obě holky z toho byly velmi zmatené, pokusil jsem se jim tedy vše vyložit co nejnázorněji.

„My používáme desítkovou soustavu, kterou jsme se naučili – teda aspoň my, lidé – ve škole a jsme na ni tak zvyklí, že nám už na ní nepřijde nic zvláštního. Naučili jsme se používat znaky 1, 2, 3 a tak dále a víme, že záleží na pořadí a na pozici. Zapíšeme-li číslo 25, máme tím na mysli něco docela jiného, než když jsou ty číslovky v obráceném pořadí – 52 znamená docela jiné číslo. To je, proč záleží na pořadí. A dále, když se při počítání dostaneme kupříkladu k číslu 99, přejdeme na nový řád – pro následující číslo nemáme žádný nový znak jako Egypťané, ale číslo sto zapíšeme jednoduše takhle: 100. To ale vlastně znamená 1×100 + 0×10 + 0×1, neboli jedenkrát sto a žádné desítky a žádné jednotky. Číslovka 1 je u čísla 100 na úplně jiné pozici než v čísle 10 – v prvním případě je na místě stovek, a ve druhém na místě desítek. Babylóňané si ale jako základ své soustavy vybrali číslo 60. Počítají tedy až po číslo 59, ale následující číslo zapíší znovu pomocí znaku pro jednotky, musí ale posunout tento znak doleva na jinou pozici. Protože Babylóňané neměli znak pro číslo 0, je to trochu komplikovanější, názornější tedy to bude, když si ukážeme znaky pro čísla 59 a 61. Tato dvě čísla zapíšeme takhle:“

„Číslo 59 zapíšeme skoro stejně jako Egypťané pomocí pěti znaků pro desítky a devíti znaků pro jednotky, nebo v naší terminologii: pěti křídel a devíti hřebů. Naproti tomu 61 zapíšeme pomocí dvou hřebů, mezi kterými je mezera. Ta mezera naznačuje, že hřeb vlevo je už na pozici násobků 60, nikoli jednotek. Dva hřeby s mezerou uprostřed tedy znamená číslo 60×1 + 1×1, neboli jedenkrát šedesát a jedna jednotka.“

„Páni,“ poznamenala Gerda a otevřela dokořán tlamu. Gája jenom znuděně zívla.

Prozradil jsem holkám, že šedesátkovou soustavu dodnes používají lidé při měření času a v geometrii. Jeden rok, nejedná-li se zrovna o přestupný rok, má 365 dnů, každý den 24 hodin, jedna hodina 60 minut, minuta pak 60 sekund. V případě geometrie jeden plný úhel, který odpovídá celému otočení kružnice, má 360 stupňů, každý stupeň pak můžeme rozdělit na 60 minut a minutu na 60 vteřin. Podobnost mezi čísly 365 a 360, tedy počtem dnů v jednom roce a jedním plným otočením kružnice, je velmi nápadná. Přestože badatelé se dodnes neshodují v názoru na to, proč si Babylóňané vybrali právě šedesátkovou soustavu, je pravděpodobné, že v tom hrála hlavní roli astronomie – a obecně lze říci, že spousta matematických pojmů a postupů má svůj původ v astronomii. Platí totiž, že 360 = 6×60 a číslo 60 lze beze zbytku dělit všemi čísly 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 a 30. Naproti tomu číslo 10, základ naší desítkové soustavy, lze beze zbytku dělit pouze čísly 2 a 5 – to je mnohem méně dělitelů, než u čísla 60. Inu, mohli si samozřejmě také vybrat číslo 365, které lépe odpovídá jednomu celému oběhu Země okolo Slunce. A díky tomu, že platí 365 = 5×73, mohlo být základem jejich soustavy číslo 73 – ale po pravdě řečeno, v takové číselné soustavě bych já osobně opravdu jenom strašně nerad prováděl jakékoli výpočty.

Chvíli jsme si tedy hráli s těmito znaky a pokusil jsem se pro psí holky zapsat babylónským způsobem čísla, která jsme dříve zapsali pomocí egyptských hieroglyfů. První číslo, které jsme zkoumali, neboli 123, musíme pro babylónský zápis rozepsat jako 2×60 + 3×1. Pak je jasné, že 123 zapíšeme nějak takhle:

Číslo 1249 musíme v šedesátkové soustavě rozložit jako 20×60 + 4×10 + 9×1, tedy dvě křídla na pozici vlevo, pomocí nichž zapíšeme 1200, a vpravo čtyři křídla a devět hřebů.

A nejtěžší je samozřejmě číslo 2 654 469. Přiznám se, že tentokrát už s pomocí kalkulačky, jsem toto číslo rozložil následujícím způsobem: 2 654 469 = 12×603 + 17×602+ 21×60 + 9, kde 603 je samozřejmě třetí mocnina 60, neboli 603 = 60×60×60. Dostaneme čtyři skupiny znaků, které v zápisu zaujímají pozici třetí mocniny 60, druhé mocniny 60, násobků 60 a jednotek, neboli následující hezký zápis:

„Teda, to už byla pořádná fuška,“ poznamenala Gerda.

„Neboj, to bych bez kalkulačky nespočítal snad už ani já,“ uklidnil jsem ji a podrbal ji na hlavě. „A teď už by mělo být jasnější, proč jsem pochyboval o tom, zda zápis, který dostaneme, když u čísla 25 napíšeme křídla a hřeby v opačném pořadí, má anebo nemá smysl.“ Pro jistotu jsem psím holkám znovu ukázal příslušný zápis:

„Hmmm, nejsou tam žádné jednotky, ale rovnou desítky,“ poznamenala Gerda.

„Dobře, dejme tedy tomu, že tam nemáme žádné hřeby v pozici jednotek, ale jen dvě křídla, která znamenají číslo 20. Pak tam ale máme v pozici vlevo hřeby, tedy zdá se, že jsou na místě násobků šedesáti. Mohlo by to tedy být číslo 5×60 + 2×10, neboli 300 + 20, takže 320…“

„Co myslíš tím zdá se a mohlo by?“ zpozorněla Gerda a trochu nazlobeně zavrčela.

„Cože, to už přestalo pršet?“ štěkla Gája, kterou Gerdino zavrčení probudilo. Když ale zjistila, že si stále ještě povídáme o babylónské matematice, brzy znovu usnula.

„Zdá se totiž, že v tom zápisu něco důležitého chybí,“ pokračoval jsem. „Správně by totiž mezi těmi hřeby a křídly měla být mezera, aby bylo jasné, že ty hřeby jsou opravdu na pozici násobků 60. Tedy správným způsobem by to číslo mělo být zapsáno nějak takhle:“

„Ale co kdyby tam byla pořádná mezera? Znamenalo by to, že ty hřeby jsou v pozici násobků 60, anebo rovnou násobků 602, tedy 60×60? Anebo třeba ještě něčeho dalšího?“ pokračoval jsem.

„Co tím chceš říct?“ byla zmatená Gerda.

„Snažím se ti ukázat jednu věc, ve které se starověká matematika obrovsky lišila od dnešní matematiky. Babylóňané ani Egypťané totiž neměli žádný znak pro číslo nula. Ba co hůře, vůbec neznali pojem tohoto čísla a ani by něco takového za číslo nepovažovali.“

„Hmmm, moc nerozumím,“ koukala na mne zmateně Gerda.

„Dobrá, číslo nula si necháme na příště,“ uklidnil jsem ji. „Jenom tedy ještě poslední věc k těm zápisům. Odborníci na starověkou matematiku se domnívají, že dlouho tento problém, neboli, jakou pozici v šedesátkové soustavě nějaká skupina znaků zaujímá, babylónské matematiky nijak zvlášť netrápil. Někdy okolo roku 300 před naším letopočtem však už matematikům zřejmě tato nejednoznačnost v zápisu začala vadit a vymysleli si zvláštní znak, který neznamená žádné číslo, ale prázdnou pozici:“

„Už jsem vám ukazoval zápis čísla 61, neboli dva hřeby, mezi kterými musí být mezera, aby bylo jasné, že ten první znak je na místě násobků 60:“

„Jak ale zapsat číslo 3601, kterému v babylónské soustavě odpovídají také dva znaky pro hřeby? Číslo 3601 musíme totiž v babylónské šedesátkové soustavě rozložit následujícím způsobem: 1×603 + 0×602 + 0×60 + 1. Mají tedy mezi těmi dvěma hřeby být dvě mezery? A jak poznáme rozdíl mezi jednou mezerou a dvěma mezerami? Máme to snad změřit pomocí pravítka? Inu, všechno se snadno vyřeší, když použijeme ten zvláštní znak, a číslo 3601 zapíšeme jednoduše následovně:“

„Pro dnešek toho už ale raději nechejme, podívej, Gája už dávno usnula,“ ukázal jsem na dalmatinku. „Slibuji ale, že pokud bude nějaká vhodná příležitost, tak si o egyptské a babylónské matematice ještě něco málo povíme. Na příště si necháme povídání o nule a přirozených číslech.“

„Dobře, teď ale mazej pro piškoty a jdeme se kouknout ven na zahradu, jestli už konečně přestalo pršet,“ poznamenala Gerda, vylezla z pelíšku a dlouze se protáhla.

Jakmile jsem zachrastil krabičkou s piškoty, probudila se i Gája. Venku už naštěstí nepršelo, jen drobně mrholilo. Psí dámy se krátce vyvenčily, pak jsme se vrátili domů a každý spokojeně zalezl do svého pelíšku.

Zajímavé pojednání o matematice v Egyptě a Mezopotámii (tj. souborně Sumeru a Babylónu) lze najít v knize:

BEČVÁŘ, Jindřich; BEČVÁŘOVÁ, Martina a VYMAZALOVÁ, Hana. Matematika ve starověku: Egypt a Mezopotámie. Dějiny matematiky, svazek 23. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-255-4. Kniha je dostupná ke stažení z internetu, URL = https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/401848.

Další podrobné pojednání o egyptské matematice lze najít v knize:

VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. Dějiny matematiky, svazek 31. Praha: Český egyptologický ústav FF UK, 2006. ISBN 80-7308-156-3. Kniha je rovněž dostupná ke stažení z internetu, URL = https://www.karlin.mff.cuni.cz/~halas/Historie_MFF/Hierat_mat_texty.pdf.

Stručné pojednání o egyptské a babylónské matematice a výhodách vizuálního počítání lze najít v sedmé kapitole knihy:

KOVALERCHUK, Boris a SCHWING, James (Eds.). Visual and Spatial Analysis: Advances in Data Mining, Reasoning, and Problem Solving. AA Dordrecht, The Netherlands: Springer, 2004. ISBN 978-1-4020-2958-5.

Počítací trik s násobením číslem 11 a spoustu dalších návodů na rychlé počítání lze najít v knížce:

BENJAMIN, Arthur a Michael SHERMER. Tajemství bleskové matematiky: průvodce světem podivuhodných matematických triků a uměním bleskových výpočtů.Přeložil Pavel Ludvík. Zlín: Kniha Zlín, 2015. ISBN 978-80-7473-371-0. K triku s číslem 11 se vrátíme a podrobně si vysvětlíme, proč funguje.

Konečně, pokud by čtenáře nezaujalo z této části nic jiného než stručná zmínka o vyprávění o potopě v babylónském Eposu o Gilgamešovi, jsem i tak spokojený. Takovému čtenáři doporučím skvělý překlad:

Epos o Gilgamešovi.Vyd. 4, v Mladé frontě 2. Přeložil Lubor MATOUŠ. Klasická knihovna. Praha: Mladá fronta, 1997. ISBN 80-204-0281-0.

A pro mladší čtenáře také převyprávění příběhu od proslulého autora a popularizátora starověkých kultur V. Zamarovského:

ZAMAROVSKÝ, Vojtěch. Gilgameš. Praha: Albatros, 1976.

Nádherný posluchačský zážitek lze najít v audioverzi příběhu, která je dostupná online:

Epos o Gilgamešovi. Překlad: Dr. Lubor Matouš, 1971. Scénář: Radovan Lukavský. Hudba: Ivan Korený a Miloš Nop. Režie: Tomáš Vondrovic. Účinkují: Radovan Lukavský, Petr Kostka a Carmen Mayerová. Online. Dostupné z: https://youtu.be/iRdJH1Lg3UY. [cit. 2024-12-12].

Konečně, příznivce moderní vážné hudby jistě potěší, že tento epos zhudebnil Bohuslav Martinů ve svém monumentálním oratoriu Epic of Gilgamesh, jež dokončil na přelomu prosince 1954 a ledna 1955. Záznam z provedení oratoria Českým filharmonickým sborem Brno a Filharmonií Brno pořízený Českou televizí v roce 2015 je také přístupný online. Dostupné z: https://youtu.be/MNO1NzJSbU0. [cit. 2024-12-12].

1. Zkuste vypočítat z hlavy:

(a) 54 × 123 + 123 × 46

(b) 859 × 77 + 23 × 589

(c) 999 × 590 + 410 × 999

(d) 789 × 340 + 450 × 789 + 210 × 789

2. Zkuste egyptským způsobem vypočítat následující součiny:

(a) 24 × 29

(b) 23 × 123

(c) 49 × 551

(d) 2482= 248 × 248