Jak naučit psa počítat: průvodce psů a lidí do říše čísel

Byla mrazivá zimní noc. Konečně pár dnů nebylo ošklivé bláto. Venku spadlo pár vloček sněhu a v pokoji bylo příjemně teploučko. Po procházce a dobré večeři se psí holky Gerda a Gája uložily k odpočinku. Dalmatinka Gája samozřejmě – kam taky jinam – na gauč, fenka německého ovčáka Gerda na své nejoblíbenější místo, neboli ke mně pod stůl. Něco vám samozřejmě o těch svých psích holkách povím. Gerda je krásná a chytrá vlkošedá fenka a má nádherné tmavě hnědé oči, kterými se na mne upřeně dívá, když mi něco chce psí řečí sdělit. Já pak musím uhodnout, o co jí jde, což se mi ne pokaždé podaří. Gerdu jsme si pořídili, když nám umřel náš první pejsek, dalmatin Blek. Gerda chodí i na cvičák a má hned několik psích zkoušek. Je to ale také psí maminka, která už vychovala hromadu štěňátek stejně krásných a chytrých jako je ona. Rád o ní říkám, že ona jako pejsek je mnohem chytřejší než já jako člověk. Gája je dalmatinka, nádherná psí slečna se spoustou černočerných teček na sněhobílé srsti. Panička si ji pořídila, protože se jí moc stýskalo po dalmatinech. Ti mají totiž úžasnou povahu. Tak mazlivého a přítulného pejska, jako je Gája, byste stěží hledali. Na rozdíl od pracovité Gerdy je Gája taková psí princezna, která si lehne zásadně na peřinku nebo polštářek. Hrozně ráda běhá – je to rozený sprinter a dobře by se uplatnila i jako lovecký pes – a poté, co naběhá spoustu kilometrů, doma spokojeně odpočívá. Obě holky se mají moc rády a skvěle se doplňují. Zatímco Gerda u plotu poctivě hlídá a hrozivě na všechny štěká, Gája každého, kdo se odváží za plot, radostně přivítá.

Podíval jsem se na psí holky, jak odpočívají, a sáhnul jsem po knize, do níž jsem se nedávno začetl. Je to úžasně napsaná knížka, kterou napsal americký fyzik Chad Orzel. V knize si povídá o fyzice, jmenovitě o kvantové mechanice, se svojí fenkou Emmy. Něco je samozřejmě fikce a něco třeba i realita – pejsci se skutečně rádi tváří, že rozumí, když jim povídáme o něčem, o čem nemají ani páru. Ale to přece vůbec nevadí. Můžeme si s nimi prostě povídat a to je kolikrát více, než kdyby nás otravovali nějakými hloupými řečmi.

Na jednom místě jsem se neudržel a hlasitě se zasmál. To když jsem se v kapitole o kvantové provázanosti dočetl k povídání o Albertu Einsteinovi, který tento jev pojmenoval jako spukhaftige fernwirkung a považoval jej za jednu z hlavních námitek proti kvantové teorii, kterou neměl rád. Fenka Emmy prý jenom odfrkla a onu německou frázi správně přeložila jako „strašidelné působení na dálku“. Když jsem se zasmál, Gerda u mých nohou se zvedla a tázavě se na mne podívala. Pověděl jsem jí tedy o Emmy a o tom, co jsem se právě dočetl a co mne tak pobavilo.

„Pffff…“ odfrkla si Gerda, „to je toho. Německy přece umím taky.“ Po pravdě řečeno, musím se vám přiznat, že teď už také začínám přecházet mezi fikcí a realitou. Gerda sice ví, že například na povel „Platz“ si má lehnout a na povel „Aus“ pustit figurantův rukáv, ale jinak toho moc nenamluví. Snad mi to ale laskavé čtenářky a čtenáři odpustí.

„Jo? Tak schválně…“ řekl jsem naoko nevěřícně a sáhnul do skříně, odkud jsem vyndal starou vysokoškolskou učebnici Vorlesungen über Algebra. Ta knížka mi kdysi dávno padla do oka v jednom olomouckém antikvariátu a napadlo mne, že by stála přinejmenším za to, abych si v ní jednou za čas zalistoval a pokusil se něco přelouskat německy. Má hezký černý obal, který voní minulostí a zašlými dobami – knížka je už skoro sto let stará. Někdy přemýšlím, kolik studentů, kteří dnes už nežijí, ji asi mělo v ruce. Sem tam jsou v knížce poznámky psané tužkou pečlivým a úhledným písmem. Možná se z ní před mnoha lety učila nějaká hezká a chytrá studentka. Ale přiznám se, že zase tak dobře německy neumím a na knížku mi nezbývalo mnoho času. Párkrát jsme se i stěhovali a nakonec knížka skončila ve skříni spolu s pár dalšími starými učebnicemi, na které se také dostane jenom občas. Teď jsem tu knížku otevřel hned na prvních pár stránkách, kde je ještě nějaké povídání, a nikoli samé vzorce a rovnice, a přečetl jsem nahlas:

Wer auf der Schule mit komplexen (oder, wie man dort wohl auch sagt, imaginären) Zahlen rechnen lernt, befolgt den Weg, den auch die Wissenschaft ging…

„Hmmm. Něco jako tohle: Ti, kdo se ve škole učí počítat s komplikovanými, nebo, jak se tam možná také říká, neskutečnými čísly, jdou cestou, kterou se vydala i věda…“ přeložila Gerda.

„Skoro,“ pochválil jsem ji. Jenom se tam nemluví o komplikovaných, ale o komplexních číslech a ne o neskutečných, ale imaginárních číslech.“

„Pfff… To mne nezajímá,“ řekla a přinesla balónek.

„Počkej, ne tak rychle,“ zvednul jsem balónek do výšky, aby na něj nedosáhla. „Ty fakt umíš německy?“

„No jasně, jsem přece čistokrevný německý ovčák,“ pronesla hrdě. „Moje maminka sice byla ze Slovenska, ale moji dědečkové a babičky prý už byli z Německa.“

„Ano, to máš pravdu,“ přisvědčil jsem. Ví, že jsem kdysi dávno podrobně zkoumal její rodokmen a tohle jsem jí určitě řekl. „A taky z Belgie,“ doplnil jsem. „Jeden tvůj belgický pradědeček dokonce vyhrál první místo na mistrovství světa německých ovčáků ve sportovní kynologii.“

„Jo, tos mi kdysi říkal,“ zavrčela, ale nespustila oči z balónku. „Taky jsi mi to vyčítal po naší poslední zkoušce, když jsem popletla doprovod a dostali jsme za tu část zkoušky hrozně málo bodů. Ještě že to neviděl pradědeček Tom, tvrdil jsi,“ zašklebila se.

„Aha, máš pravdu,“ vzpomněl jsem si na tu zkoušku. „Tak to je jasné, že umíš tak dobře německy. Mnohem líp než já.“

„To sice jo, ale moc nevím, o čem to je. Nevím, co jsou ta komplikovaná čísla, ani nevím, k čemu by to mohlo být užitečné. A házej,“ vrhla na mne vyzývavý pohled.

„Komplexní čísla,“ opravil jsem ji. „A co jsou obyčejná čísla, víš?“

„Jasně. Podle toho se třeba počítá, kolik mám štěňat nebo body u zkoušky. A házej konečně,“ zavrčela znovu.

Hodil jsem jí tedy balónek a koukal se, jak pro něj běžela. Na chvíli zvedla hlavu z gauče i Gája, ale když viděla, že se nic neděje, opět se spokojeně položila. Gája totiž umí pořádně odpočívat a nemusí stále „pracovat“, protože na rozdíl od Gerdy prý není „pracovní plemeno“, ale „lovecké plemeno“, tudíž vlastně jakási psí slečna ze zámku, jak mi kdysi vysvětlila. Tak jsme ji tedy nechali odpočívat a Gerda za pár vteřin přinesla balónek a položila mi jej do klína.

„No, s těmi čísly je to složitější. Třeba počet štěňat bude vždycky celé číslo, nebo ještě přesněji přirozené číslo. Ale když se žádné štěně nenarodí, tak to bude nula štěňat. A za nepovedený cvik u zkoušky taky nemusíš dostat žádný bod, tedy dostaneš nula bodů.“

„Ano, to vím. Když to ale nejsou žádná štěňata a žádné body, proč o tom mluvíš jako o nule štěňat a o tom, že nějaké body dostanu, když žádné body nedostanu?“

„Protože nula je číslo – a to hodně důležité číslo. Anebo že třeba za nějaký cvik můžeš dostat něco mezi jedním a dvěma body? A dokonce, když něco opravdu hodně pokazíme, tak třeba mínus čtyři body? A teď si představ, že by to bylo stejně i u štěňat,“ pokračoval jsem.

„To jako, že budu mít více než jedno štěně a méně než dvě? Nebo ještě méně než žádné štěně?“ koukla se na mne nedůvěřivě a na chvíli zapomněla, že mám házet balónek. „To si snad děláš legraci, ne?“

„Vůbec. Těch druhů čísel je totiž spousta a je důležité číslům pořádně porozumět. Je to hrozně zajímavé a může to být i zábava.“

„Aha. No, ale teďka už házej,“ koukla se na mne vyzývavě. Víte, pejsci můžou být trochu povrchní. A když je něco moc nezajímá, rychle hledají jinou zábavu.

„Hodím. Ale víš, vlastně jsem dostal nápad. Nejdřív si poslechni, co mne napadlo, a pak ti hodím ten balónek, souhlasíš?“

„Haf,“ štěkla. To u pejsků obvykle znamená ano.

„Tak poslouchej. Když pan Orzel si mohl povídat s Emmy o kvantové mechanice, co kdybychom si my dva povídali třeba o číslech?“ předložil jsem jí, co mne právě napadlo.

„To fakt jako?“ koukla se na mne trochu nesouhlasně.

„Mne z toho rovnou vynechte,“ prohlásila z gauče Gája, kterou probudilo Gerdino štěknutí. „Já si s váma o žádných číslech povídat nebudu.“

„Ale kdybys někdy změnila názor, klidně se můžeš přidat,“ řekl jsem a vstal z křesla. Pohladil jsem Gáju a ukázal jí knížku Vorlesungen über Algebra. Knížku očichala a položila zase spokojeně hlavu. Vrátil jsem se tedy zpátky do křesla a vzal znovu do ruky míček.

„No dobře. Ty si s náma povídáš o různých věcech, které pejsky obvykle moc nezajímají, tak proč ne třeba o číslech,“ vzdychla unaveně Gerda. „Jenom mi ještě řekni, k čemu by to povídání mohlo být užitečné.“

„Jasně, povím ti to. Víš přece, že jsem loňský rok učil děti matematiku na základní škole…“

„Jo, vím. Měl jsi na nás dvě hrozně málo času. Ale jednou jsi nás tam s Gájou zavezl a hrály jsme si tam s dětmi. To bylo fajn. Pak jsi jim dal rukáv a několik dětí se se mnou přetahovalo. To byla ta správná psí legrace.“

„Tam jsem ale zjistil, jak moc může matematika děti potrápit, když jí nerozumí. Což je hrozná škoda, protože matematika může být nejenom zábavná, ale především je taky hrozně užitečná. A ty jsi moc hodná holka,“ přestal jsem ji trápit a hodil jsem jí balónek. Gerda jej chytla ještě v letu a spokojeně jej kousala. Teď si s ním bude chvilku hrát a jen tak mi jej znovu nedá. „A kdybych to naše povídání napsal, stejně jako pan Orzel,“ pokračoval jsem, „mohla by z toho být knížka o matematice. Když jsem třeba děti učil řešit rovnice a upravovat algebraické výrazy, moc je to nebavilo. Ale když jsem jim vyprávěl o pejscích, pořád se mne holky i kluci na něco ptali a bylo vidět, že je to opravdu zajímá. Když si tedy budou číst naše povídání, mohlo by je to bavit a mohli by se i něco užitečného naučit.“

„Haf, domluveno. Ale budu za to dostávat spoustu psích dobrůtek,“ Gerda mi položila do klína balónek a upřeně se mi zadívala do očí, co říkám na její návrh. Poté, co štěkla, Gája znovu zvedla hlavu a koukala se, co se děje.

„A bude to užitečné pro nás pro všechny. Já si znovu zopakuju spoustu věcí a kromě matematiky si můžeme čas od času povídat třeba i o jiných věcech, které s ní více nebo méně souvisí. Třeba o filozofii a o tom, na jaké bohy věřili lidé, ale také o lovcích mamutů a o vlcích…“

„Fakt?“ rozšířily se jí zorničky úžasem. Zdá se, že vlci ji zaujali.

„A speciálně pro tebe – budeme si povídat o různých německých matematicích…“

„Jo? O kterých třeba?“

„No… Třeba o Leibnizovi, Gaussovi, Cantorovi nebo Dedekindovi. Ale je jich opravdu hromada, na všechny si teď hned nevzpomenu“ zkoušel jsem ji dále navnadit. „Na druhou stranu, nemůžeme si povídat úplně o všem. Na to by nám jedna kniha nestačila.“

„Jasně. Tak co třeba začít povídáním o číslech?“ navrhla Gerda. „Můžeš mi vysvětlit, jak je teda možné, že bych měla více než jedno štěně, ale méně než dvě, nebo že bych jich měla méně než žádné…“

„Bezva nápad. Budeme si teda povídat o číslech. A jak se bude naše knížka jmenovat?“

„Jak jsi říkal, že se jmenuje ta černá knížka, ze které jsi mi četl? Vorlesungen über Algebra? Tak co třeba Učebnice algebry pro německé ovčáky?“ navrhla nesměle.

„No teda…“ pochválil jsem ji. „Ta učebnice algebry by ale možná některé holky a kluky od čtení spíše odradila. A určitě nechci, aby to byla učebnice – těch je spousta a píší je lidé, kteří to umí mnohem lépe než já. A taky to naše povídání nebude jenom o algebře, ale spíše o číslech a teorii čísel. Z algebry budeme mluvit jenom o tom nejnutnějším. A pro německé ovčáky… - co kdyby si to chtěl přečíst třeba nějaký dalmatin?“

„Cože?“ probudila se Gája. Když ale zjistila, že si pořád povídáme o stejném tématu, tak se jenom posunula, našla si na gauči ještě pohodlnější místečko, a znovu zavřela oči.

„Haf, dohodnuto. Ale začneme až zítra. Teďka mazej pro kousací tyčinku a bez ní se nevracej,“ podívala se na mne nekompromisně.

Musel jsem se její upřímnosti zasmát. Odešel jsem tedy do předsíně, kde mám ve skříňce schované kousací tyčinky pro pejsky a docela jsem zapomněl na to, že jsem na gauč, kde ležela Gája, položil tu starou německou knížku o algebře. Když jsem se za chvíli vrátil s tyčinkami pro obě psí holky, ukázalo se, že první, kdo se z nás tří do matematiky důkladně zažral, a to ne v přeneseném slova smyslu, ale opravdu a doslova, byla Gája. No vidíte. Třeba to naše povídání někomu, kdo s matematikou zápasí, pomůže, aby se s ní porval stejně statečně a nemilosrdně jako naše dalmatinka Gája.

Na druhý den jsem pro jistotu před Gájou schoval knížku o algebře, aby se do ní zase nezažrala. Inu, neměl jsem ani tak obavy o tu knihu, jako spíše o Gáju – kdyby jí snědla moc velký kus, bylo by jí určitě špatně, a to nemáme opravdu zapotřebí. Gája tedy opět spokojeně odpočívá na gauči, Gerda si dnes pro změnu ustlala ve psím pelíšku u okna. Má tam svoji sbírku míčků a balónků, trochu okousané pískací prasátko, které už naštěstí přestalo pískat, nebo přesněji řečeno chrochtat, a kousek srnčího parůžku a daňčího parohu. Když se pejsci moc nudí, pomůže jim, když něco koušou. A parohy a parůžky jsou skvělá volba. Na dnešek mám pro ni ale připraveno povídání o lovcích mamutů. To by ji snad mohlo zajímat. Uvidíme.

„Tak co, ty moje malé vlčátko,“ promluvil jsem na ni, „budeme si dnes povídat o číslech?“

„Já jsem taky vlčátko,“ přidala se Gája a zabušila ocasem o gauč, „jenom na to nevypadám.“

„To opravdu nevypadáš,“ ušklíbla se na ni Gerda. „A nemohli bychom si raději povídat o vlcích? Ty mám ráda…“ zaprosila.

„Neboj. Na vlky se taky dostane. Ale nejdřív se tě zeptám: do kolika umíš počítat?“

„Já nevím… Jedna, dva, hodně…“

Inu, ve skutečnosti vím, že dovede počítat nejméně do čtyř. Když jsem jí kdysi dával piškoty za odměnu, že si nechala ošetřit uši nebo zraněnou nožičku – za každé ucho byla obvykle odměna dva piškoty –, tak dobře poznala, když jsem jí místo čtyř piškotů dal jenom tři. Uraženě se mi koukala do očí a dožadovala se nápravy této křivdy. Pozná tedy rozdíl mezi třemi a čtyřmi piškoty a to pro pejsky není nic jednoduchého.

„No paráda,“ pochválil jsem ji. „To není vůbec málo a přesně takhle to dělají i někteří lidé. Četl jsem kdysi v jedné knížce, že přesně takhle prý počítají ještě dneska někteří australští domorodci, aboriginové. Kupříkladu v jazyce warlpiri, který používá jeden z těchto aboriginských kmenů, existují slova pro jedna (yinki nebo kurdu) a dva (pala), ale pro vyšší čísla už tento jazyk slova nemá a místo toho se používají kombinace těchto číslovek. Tedy tři by se mohlo říct nějak na způsob jedna a dva (yinki-pala nebo kurdu-pala), čtyři by se řeklo dva a dva (pala-pala) a podobně. A když ani tahle slova nestačí, tak řeknou prostě hodně (mardarni).“

Duál a starověké počítání

Někteří badatelé se dokonce domnívají, že vzdálené pozůstatky tohoto způsobu počítání najdeme ještě v češtině. Čeština má totiž zvláštní tvar množného čísla, který se používá pouze pro věci, jež se vyskytují pouze ve dvojicích. Například slovo „ruka“ je ženského rodu a měli bychom je tedy správně skloňovat podle vzoru „žena“. Tedy množné číslo by mělo být „ruky“ podle vzoru „ženy“. Ale spisovně - a to je ten duálový tvar – místo toho řekneme „ruce“. Naproti tomu, když nejde o lidské ruce, ale třeba o ručičky na hodinách, vytvoříme množné číslo přesně podle toho vzoru, tedy řekneme „ručičky“ podle vzoru „ženy“. A jiný příklad: řekneme „Holka s krásnýma očima“, ale když se nejedná o opravdové holčičí oči, ale pouze o kresbu, která oči připomíná, můžeme říct „Motýl s velkými oky na křídlech“.

Duál mají v množném čísle pouze slovanské jazyky, kromě češtiny tedy třeba i polština a ruština, měla jej klasická řečtina, a mají jej hebrejština a arabština a kupříkladu ještě některé africké jazyky. Další jazyky, kupříkladu jako latina a němčina, duál kdysi měly, ale postupným vývojem jej v procesu zjednodušování a sjednocování různých dialektů ztratily.

V duálu tedy možná můžeme najít dávnou ozvěnu onoho pravěkého způsobu počítání, kdy naši pra-pra-pra…předkové počítali jednoduše „jedna“, „dvě“ a „hodně“.

„Hmm, to je zajímavé,“ poznamenala na moje povídání o gramatice Gerda. „Ale, víš, že já vlastně k počítání žádná slova nepotřebuju? Prostě se kouknu, a vidím, že jsou tady na stole dva piškoty, i když to neumím nijak pojmenovat.“

„Ano, to je výborná poznámka,“ pochválil jsem ji. „Badatelé, kteří zkoumají starověk, se domnívají, že i naši prapředkové dovedli počítat i bez toho, že by pro ta čísla měli nějaká slova. Tedy, možná taková slova měli, kdo ví. Ale víme určitě – jak jsi správně poznamenala –, že jde počítat i beze slov. A máme k tomu velmi zajímavý a starobylý objev – jednu skoro třicet tisíc let starou vlčí kost.“

„Vlčí kost?“ zpozorněla Gerda.

„Opravdu vlčí, to jako od opravdového vlka? A takhle starého?“ zeptala se nevěřícně Gája.

„Jo, přesně tak. A to je ten příběh o lovcích mamutů, který jsem ti chtěl povyprávět.“

„Týjo, lovci mamutů a vlci, to by mohlo být konečně zajímavé,“ poznamenala Gája, která se dosud nudila.

„Přesně tak. Když jsme dneska odpoledne byli na procházce, koho jsme tam potkali?“ zeptal jsem se.

„Nic moc, byli jsme tam sami,“ odpověděla Gerda.

„Ale ve sněhu byly stopy od srn. A pak ještě nějaké menší stopy. Něco jako od psa. Ale vypadaly trochu jinak a nějak divně vedly lesem. Takhle by žádný pes po procházce asi nešel,“ doplnila ji Gája.

„To byly možná stopy od lišky nebo nějakého jiného lesního zvířete. Ale představte si, že kdysi dávno to tady všechno vypadalo úplně jinak.“

A začal jsem jim vyprávět o době ledové, o tom, jak se zdejší krajinou kdysi procházeli mamuti, v jeskyních žili obrovští medvědi, velké jeleny lovili jeskynní lvi a šavlozubí tygři, po travnaté stepi se proháněli srstnatí nosorožci a spousta jiných zajímavých zvířat. Našel jsem jednu zajímavou knížku, tou jsem zalistoval a ukazoval jim obrázky těch úžasných zvířat, které dnes už nežijí. Psí holky na obrázky koukaly s očima dokořán a zdálo se, že mi tak úplně nevěří.

„No fakt, takhle to tady kdysi dávno vypadalo,“ snažil jsem se je ujistit.

„To je škoda, že už není doba ledová, to by byla jiná procházka,“ zatesknila si Gája, které se v lese vždycky líbí.

„No, já jsem docela rád, že není doba ledová, mně bylo na procházce docela zima i tak. A ty s tím tvým kožíškem, nevím, nevím… Ale chtěl jsem vám něco povědět o vlcích. Víme totiž, že někdy v té době se možná lidé začali přátelit s vlky. Kupříkladu v Předmostí u Přerova, což je nedaleko od nás, našli vlky pohřbené podobným způsobem jako lidi – a lidi pohřbívají jenom ta zvířata, která mají opravdu rádi. A u jedné z lebek těchto vlků nesou zuby stopy toho, že tenhle vlk ohlodával kosti. To vlci obvykle nedělají, ale dělají to pejsci.“

„Jo, my máme kosti rády,“ poznamenala Gerda.

„Hezky se tím dají vyčistit zuby a je to zábava,“ doplnila ji Gája.

„A tak možná tihle vlci – jistě to samozřejmě nevíme a badatelé se na tom neshodnou – už možná byli skoro psi.“

„Hm, a jak to souvisí s počítáním?“ byla zvědavá Gerda.

„Výborně,“ pochválil jsem ji za její zvědavost. „Totiž, na jiném místě, trochu dál od nás, ale ne zase tolik, v Dolních Věstonicích, našli archeologové pravěké sídliště lovců mamutů. Kromě slavné sošky Věstonické venuše zde našli i vřetenní vlčí kost, na které byly dvě skupiny zářezů oddělené od sebe dvěma dlouhými zářezy. Vědci se domnívají, že se jedná o takzvanou vrubovku, starověkou počítací pomůcku, s níž se dá snadno počítat i bez čísel.“

„Tomu úplně nerozumím,“ poznamenala Gerda a Gája souhlasně zakývala hlavou.

„Tak si to vysvětlíme.“ Zapnul jsem počítač a na Googlu se mi rychle podařilo najít obrátek té slavné vlčí kosti. Ukázal jsem jim fotografii a pokusil jsem se načrtnout něco podobného na papír.

„Dejme tomu, že jsem byl na lovu a ulovil jsem deset zajíců. Tolik jich ale nepotřebuju a chci jich několik vyměnit s jiným lovcem, který na rozdíl ode mne ulovil deset křepelek, ale žádné zajíce. Platí, že za jednoho zajíce dostanu jednu křepelku. Odpočítám tedy na své straně vrubovky tolik zajíců, kolik jich chci vyměnit, stejné množství odpočítá i druhý lovec, a navzájem si úlovky vyměníme. Tomuto přiřazování věcí jedna ku jedné se v matematice říká vzájemně jednoznačné zobrazení, nebo odborněji bijekce. Přestože se jedná o takhle starobylý a jednoduchý princip, má ve skutečnosti v současné matematice obrovské využití a ještě si o tom někdy později hodně povíme.“

„Ale to zdaleka není všechno. Pomocí téhle vrubovky se dá i snadno násobit. Rozhodnu se třeba, že své ulovené zajíce vyměním s dalším lovcem za koroptve, které ulovil on, tentokrát mu ale za jednu koroptev musím dát dva zajíce. Výsledek spočítáme jednoduše tak, že když druhý lovec na své straně vrubovky napočítá jednu koroptev, já musím napočítat hned dva zajíce.“ Výsledek tohoto počítání jsem jim načrtnul na další obrázek.

„A taky by se pomocí vrubovky dalo i dělit. Dejme tomu, že chci vyměnit osm zajíců, kolik tedy za to dostanu koroptví? Tentokrát postupujeme opačně – když já napočítám dva zajíce, druhý lovec na své straně vrubovky napočítá jenom jednu koroptev.“ A výsledek jsem jim také nakreslil na obrázek.

„Hmm, a kolik koroptví by bylo za pět zajíců?“ zeptala se Gerda.

„No, to už je složitější a řekneme si to někdy později, až si budeme povídat o zlomcích a racionálních číslech. Ale když už mluvíme o zajících, tak kolik zajíců je na tomhle obrázku?“ Ukázal jsem oběma psím holkám obrázek.

„To je přece jasné, osm,“ odpověděla skoro bez váhání Gerda.

A co tenhle obrázek? Je jich stejně jako na tom předchozím, nebo ne?“

Nad tím už musely obě fenky chvíli přemýšlet. Po chvilce samozřejmě přišly na to, že na druhém obrázku je o jednoho zajíce víc.

„A to je další dovednost, kterou my lidé máme zřejmě od pradávných dob – a samozřejmě i spousta zvířat, možná i psi. Snadno totiž pouhým pohledem dokážeme i bez počítání skupinu dvou, tří a čtyř věcí rozpoznat jako dvojici, trojici a čtveřici. Jakmile je ale těch věcí na obrázku více, už to bez počítání nedovedeme. Proto jsi snadno přišla na to, že na prvním obrázku bylo osm zajíců. Byly tam totiž dvě čtveřice, a tedy celkem osm zajíců. Na druhém obrázku už ale ti zajíci nebyli tak přehledně rozděleni do skupinek, a abyste přišly na to, že je jich tam devět, musely jste je poctivě spočítat. Je to velmi zajímavé pravidlo a přiznám se ti, že jsem to pravidlo používal, když jsi měla poprvé štěňátka. Měla jsi jich totiž přesně osm. Když se rozutekly po zahradě a chtěl jsem vědět, jestli se nějaké neztratilo, stačilo mi, abych si je rozdělil do dvou skupinek po čtyř štěňátcích, a hned jsem věděl, jestli je všechno v pořádku. A o tom, že tohle pravidlo skutečně platí, jsem se přesvědčil, když jsi měla štěňata podruhé. Tehdy jich bylo devět a opravdu se mi o dost hůře počítalo a často jsem nevěděl, jestli se třeba jedno neztratilo. Můžeme tomu pravidlu říkat třeba pravidlo čtyř, anglicky se mu ale říká limit of four, tedy správně omezení na čtyři.“

„Pejsci tohle pravidlo určitě znají a do čtyř umí bez problému počítat,“ pokračoval jsem. „Slavného amerického trenéra zvířat Kena Ramireze ale zajímalo, jestli psi dovedou počítat i do větších čísel. Pokusil se tedy naučit rozlišovat počty věcí a čísla fenku Coral, docela obyčejného pejska z útulku. Výsledky všechny překvapily a ukázalo se, že fenka bez problému počítala do čtrnácti. Jakmile předmětů bylo již patnáct a více, začala dělat chyby, ale s počítáním do čtrnácti neměla problémy.“

„Páni. Ta byla chytrá skoro jako někteří ovčáci,“ poznamenala uznale a zároveň trochu namyšleně Gerda. „Ale říkal jsi, že tohle pravidlo prý znají i některá zvířata? Která další zvířata, kromě pejsků?“ byla zvědavá.

„No, možná by tě to překvapilo. Vědci kupříkladu zjistili, že velmi chytří jsou někteří ptáci, například vrány.“

„Jo ptáci…“ posteskla si Gája. Vím, že nemá ptáky moc ráda – neradi si hrají s pejsky na honěnou. Když je chce nějaký pes prohnat, prostě uletí pryč někam vysoko a mají pokoj. Pamatuju si, že když byla Gája malá, tak ptáky honila, ale protože pokaždé hned uletěli, brzy ji to přestalo bavit.

„A představte si holky, že jsem kdysi četl jeden zajímavý příběh, tuším, že to bylo o vráně. V tom příběhu se psalo o ornitologovi, který chtěl pozorovat vránu, která sídlila na střeše nějakého domu, který byl naproti věži kostela. Jenomže ptáci jsou docela ostražití, a tak když ten ornitolog vešel do věže, aby mohl vránu pozorovat, tak se uletěla schovat a nevrátila se, dokud ten pán neodešel. Při pozorování ptáků se prý ale používá tenhle trik – do věže vstoupí dva lidé, jeden na věži zůstane a druhý vyjde ven. Když je pták hloupý, myslí si, že je věž prázdná a vrátí se na místo. Jenomže tahle vrána byla docela chytrá – když do věže vešli dva lidé a vystoupil z ní ven jenom jeden člověk, vrána věděla, že ve věži někdo zůstal a nevrátila se. Tak do věže vstoupili tři lidé a dva vyšli ven. Vrána dobře věděla, že ve věži někdo je. Vešli tedy dovnitř čtyři lidé a tři vyšli ven. Pořád nic, vrána se nevracela. Vešlo tedy dovnitř pět lidí a čtyři vyšli ven, vrána se ale zase nenechala nachytat. Tak nakonec do věže vešlo šest lidí a pět vyšlo ven. Teprve tehdy prý ta vrána ztratila přehled a vrátila se na místo.“

„Docela chytrá vrána,“ zamručela uznale Gerda.

„Ale to by už pro dnešek stačilo. Dneska už půjdeme spát a něco dalšího si povíme zase příště.“

„No, nakonec to nebyla taková nuda, jak jsem čekala,“ poznamenala Gája a zívla si. Usmál jsem se a pohladil ji na hlavě. Když vám něco takového řekne dalmatin, tak je to velká pocta.

1. Zkuste rychle a bez počítání říct, čeho je na obrázku více – koček nebo pejsků? A jak vaše odpověď souvisí s pravidlem čtyř?

2. A co následující obrázek? Zvládnete to i tentokrát bez počítání?

Tolik tedy pro dnešek. Bude-li se naše povídání někomu líbit, tak v něm budeme pokračovat.

Při psaní jsem čerpal ze spousty knížek, informací na internetu a různých jiných zdrojů, svých znalostí a toho, co jsem se kdy naučil a studoval. Nemohu tedy zde uvést seznam všech zdrojů, ale jen různé tipy k dalšímu čtení a pobavení.

Knížka, se kterou se porvala dalmatinka Gája: BIEBERBACH, Ludwig a Gustav BAUER. Vorlesungen über Algebra. Leipzig/Berlin: Verlag und Druck von B.G. Teubner, 1928. Knihu lze dodnes použít jako učebnici algebry, snad mi ale prominete, když si místo její matematické stránky dovolím poukázat spíše na její historii. Autor učebnice Gustav Bauer byl německý matematik (1820-1904), jehož hlavními obory zájmu byla algebra a teorie čísel. Působil na matematické fakultě Univerzity Ludvíka Maxmiliána v Mnichově, kde se habilitoval a v roce stal 1869 řádným profesorem. Zde jedním z jeho doktorandských studentů byl Heinrich Burkhardt, který je známý jako jeden ze dvou posuzovatelů doktorské práce Alberta Einsteina. Bauer byl uznávaným učitelem a mnoho jeho studentů se stalo významnými matematiky. Několik let po vydání Vorlesungen však Bauer zemřel a další vydání oblíbené učebnice redigovali jiní matematikové, ve čtvrtém vydání knihy z roku 1928 pak L. Bieberbach. Na rozdíl od Bauera byl Ludwig Bieberbach (1886-1982) již značně kontroverzní postavou. Byl známý svými příspěvky v oblasti matematické analýzy, teorie funkcí a geometrie. V roce 1933 Bieberbach vstoupil do SA (Sturmabteilung), organizace, která hrála důležitou roli při vzestupu Adolfa Hitlera k moci, a v roce 1937 vstoupil také do nacistické NSDAP. Nadšeně podporoval propouštění židovských univerzitních profesorů a dokonce zprostředkoval zatčení některých svých kolegů gestapem. Bieberbach byl silně ovlivněn Theodorem Vahlenem, dalším německým matematikem, a společně založili hnutí Deutsche Mathematik (Německá matematika) a stejnojmenný časopis, jejichž cílem bylo podporovat a propagovat „německý“ styl v matematice. Podobně se jiní nacismem pobláznění vědci snažili o vytvoření „německé fyziky“, „německé chemie“ atd. Inu, i matematikové mohou být padouši a není tedy divu, že s touto knihou měla Gája problém a zakousla se do ní.

Více se o poslední době ledové na našem území lze dočíst v knize: MUSIL, Rudolf. Morava v době ledové: prostředí posledního glaciálu a metody jeho poznávání. Ilustroval Petr MODLITBA. Brno: Masarykova univerzita, 2014. ISBN 978-80-210-6364-8.

Stručné pojednání o věstonické vrubovce podává článek v časopise Vesmír: FOLTA, Jaroslav. Věstonická vrubovka: Sloužil paleolitický předmět k bijekci mezi prvky dvou množin? Vesmír, 1997, 76(6), s. 309. O novějším a nečekaném objevu z této archeologické lokality souvisejícím s matematikou a astronomií pojednává stručný článek: KLÍMA, Bohuslav. Lunární kalendář z Dolních Věstonic. Vesmír, 1997, 76(6), s. 312.

Velkým popularizátorem archeologie a paleontologie byl profesor Josef Augusta, který tomuto tématu věnoval řadu odborných prací i populárních knížek. Dodnes lze doporučit k přečtení kupříkladu dvě následující knihy: AUGUSTA, Josef. U pravěkých lovců. Vyd. 3 Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1975.

AUGUSTA, Josef. Zrození Venuše. 2. vyd., (v MF 1. vyd.). Praha: Mladá fronta, 1964. V první knize autor předkládá svoji představu o moravských lovcích mamutů, ve druhé se pokouší hledat počátky umění. Knihy jsou poznamenány dobou vzniku a předkládají marxisticky pojaté dějiny tohoto období. Vezme-li čtenář v úvahu tyto nedostatky, může si vychutnat dobrodružné příběhy pravěkých lidí, jak mu je předkládá autorova fantazie.

Moderní a o mnoho nových objevů a odvážných teorií, zejména o duševním světě, doplněný obraz života lidí žijících v pozdním paleolitu a neolitu, podávají knížky: LEWIS-WILLIAMS, J. David. Mysl v jeskyni: vědomí a původ umění. Galileo. Praha: Academia, 2007. ISBN 978-80-200-1518-1. LEWIS-WILLIAMS, J. David a PEARCE, David W. Uvnitř neolitické mysli: vědomí, vesmír a říše bohů. Galileo. Praha: Academia, 2008. ISBN 978-80-200-1644-7.

Stručný popis pokusu Kena Ramireze, uznávaného amerického trenéra zvířat, lze najít například v článku TRAUŠKEOVÁ, Marie. Umějí psi počítat? Online. https://www.ecanis.cz. 2022. Dostupné z: https://www.ecanis.cz/clanky/umeji-psi-pocitat-_2488.html. [cit. 2024-09-04]. Řadu trenérských tipů a triků a podrobnější popis pokusu s fenkou Coral lze najít v knize RAMIREZ, Ken. Okem trenéra: trénink zvířat jako transformační proces postavený na důvěře. Praha: Plot, 2021. ISBN 978-80-7428-395-6.

O počítacích systémech různých primitivních národů se lze dočíst ve druhé kapitole knihy BARROW, John D. Pí na nebesích: o počítání, myšlení a bytí. Kolumbus. Praha: Mladá fronta, 2000. ISBN 80-204-0855-X.