Jak naučit psa počítat: o objevu čísel

Za několik dnů se oteplilo, sníh a led roztály a dokonce trochu hřálo sluníčko. Jako by nám příroda usnadnila naše další povídání. Posledně jsme si totiž povídali o lovcích mamutů a době ledové, dnes mám ale připraveno vyprávění o starověkých civilizacích a o tom, jak lidé objevili pojem čísla.

Pozdě odpoledne, po procházce a večeři jsme si znovu začali povídat.

„Poslední doba ledová, známá také jako poslední glaciál, skončila někdy před 11 až 12 tisíci lety. Období, které po ní následovalo, se říká holocén a trvá dodnes. Po konci poslední doby ledové lidé zjistili, že nemusí zvířata jenom lovit, ale mohou si některá z nich ochočit a chovat je ve velkých stádech, a že nemusí spoléhat na rostliny a plody, které posbírají, ale mohou některé plodiny cíleně pěstovat. Takhle vzniklo pastevectví a zemědělství,“ začal jsem dnešní povídání.

„A jak to bylo s pejsky a vlky?“ byla zvědavá Gája.

„Cesty vlků a psů se v téhle době definitivně rozešly – psi se stali stálými průvodci a pomocníky lidí, z vlků se naopak stali nepřátelé, kteří pastevcům napadali stáda.“

„To je škoda,“ povzdechla si Gerda.

„No, po pravdě řečeno, úplně stoprocentně se jejich cesty nerozešly a psi a vlci jsou si stále natolik příbuzní, že mohou mít spolu mláďata. Vzpomenete si jistě, jak jsem vám minulý rok v zimě četl z knížky Jacka Londona Bílý tesák…“

„Jasně, ten se mi moc líbil – pouštěli jsme si taky film,“ poznamenala Gája, která se ráda kouká na televizi.

„Ano správně, Bílý tesák byl napůl pes a napůl vlk. A v nedávné době také třeba vznikla nová plemena psů z cíleného spojení psů a vlků – takhle vzniklo kupříkladu plemeno československý vlčák, kterého chovatelé vyšlechtili zkřížením německého ovčáka a karpatského vlka. Ale tohle téma musíme nechat stranou, chtěl bych vám dnes povědět o tom, jak lidé objevili čísla,“ pokračoval jsem ve svém vyprávění.

„No dobrá,“ zívla dalmatinka Gája, zavřela oči a spokojeně se položila.

„Dnešní vědci se domnívají, že ze začátku lidé počítali pomocí kamínků. Kupříkladu ovčák šel na pastvu s padesáti ovcemi a ke každé ovci si ráno nachystal jeden kamínek. Když se pak večer vracel do ohrady, pouštěl tam ovečky jednu po druhé a počítal je podle kamínků. Tak mohl své ovce snadno spočítat, a nemusel vůbec znát číslo padesát a nepotřeboval umět s takhle velkými čísly počítat. Když bylo ovcí stejně jako kamínků, věděl, že je všechno v pořádku. Jestliže mu ale nějaké kamínky zbyly, poznal, že mu několik ovcí chybí a vydal se je hledat.“

„S tím bych mu pomohla,“ poznamenala Gerda.

„Samozřejmě. Však jsi taky německý ovčák. Kupříkladu ze starověkého Sumeru archeologové znají něco, čemu dnes říkají kamínkové počítací nádoby. To byl jakýsi džbánek, nádoba z pálené hlíny, do které se vložilo určité množství kamínků. Ty kamínky mohly mít různý tvar a mohly připomínat zboží, které majitel prodával – třeba ovce, kozy, džbery vína a podobně. Dejme tomu, že kupříkladu majitel velkého stáda ovcí chtěl prodat druhému majiteli dvacet ovcí. Aby nemohlo dojít k žádnému podvodu, dal do tohoto džbánku ještě před vypálením dvacet kamínků, poté nádobu zapečetil a vypálil v peci. Do takto vyrobeného džbánku už nešlo nic přidat ani z něj odebrat. Nádobu pak předal ovčákovi a i se stádečkem ovcí jej poslal k novému majiteli. Ten džbánek rozbil, přepočítal, jestli je ovcí stejně jako kamínků, a mohl si snadno ověřit, jestli je všechno v pořádku.“

„To je docela chytré,“ zamručela uznale Gerda.

„Aby bylo jasné, kolik kamínků bylo vloženo do nádoby, udělal také původní majitel zvenčí nádoby otisk každého kamínku. Na nádobě zvenčí by pak bylo otisknuto dvacet kamínků a uvnitř také dvacet počítacích kamínků. Nádobu stačilo rozbít a přepočítat kamínky až někdy později, třeba při předání ještě dalšímu majiteli,“ pokračoval jsem.

Na internetu jsem našel obrázek takového počítacího džbánku a několika počítacích kamínků s různými tvary. Holkám jsem obrázek ukázal a ty si jej trochu znuděně prohlédly.

„A zdá se, že přibližně před pěti a půl tisíci lety někoho geniálního napadlo, že když se na té nádobce udělá před vypálením otisk každého kamínku, tak vlastně už ani žádné kamínky nepotřebuje – místo nádoby stačí vyrobit plochou destičku, do ní udělat příslušný počet otisků počítacích kamínků, a destičku vypálit. Tak vzniklo něco, čemu dnes archeologové říkají pálené hliněné tabulky, a jsou za ně velmi vděční – našla se jich při vykopávkách v dnešním Iráku a Íránu spousta, celé knihovny. Díky tomu, že se jedná o trvanlivý a pevný materiál, tak máme o těchto starověkých civilizacích docela solidní informace a hodně toho o nich víme. Na rozdíl od těch civilizací, které psaly své záznamy na méně trvanlivý materiál, který se nám nedochoval.“

Opět se mi po chvilce hledání podařilo najít hezký obrázek a ten jsem psím holkám ukázal.

„Dnešní badatelé se domnívají, že v této době došlo k důležité události – jakmile nebylo zapotřebí počítacích džbánů a počítacích kamínků, objevili lidé pojem čísla. Čísla se už nepoužívala jenom ve spojení s věcmi, tedy nemluvilo se jenom třeba o pěti ovcích, pěti jablcích, pěti džbánech vína, ale lidé začali uvažovat o samostatném čísle pět. Nebylo také už zapotřebí vyrábět kamínky ve tvaru ovcí, nádob vína a tak dále, ale pro všechny pětice jakýchkoli věcí prostě stačilo pět stejných počítacích kamínků. Takhle nějak vznikl zcela nový abstraktní pojem – něco, co jakýmsi způsobem mají společné všechny pětice věcí, které existují, nebo o kterých uvažujeme, neboli číslo pět. To byl ve skutečnosti obrovský skok v lidském myšlení, doslova myšlenková revoluce.

Ale jakmile začneme uvažovat o číslech jako o něčem samostatném, brzy začneme o číslech zjišťovat různé zajímavé věci. A tady se podle mne také od sebe liší lidé a zvířata – abstraktní pojem čísel mají pouze lidé a jedině lidé dokáží tedy tyto zákonitosti čísel objevovat a usnadňovat si s jejich pomocí život.“

„Hmm,“ nesouhlasně zavrčela Gerda. „Zatím jsi nám žádnou takovou zákonitost neukázal,“ poznamenala správně.

„Dobře, předvedeme si tedy hned dvě věci. Představ si třeba čísla 1011 a 1012? Které z nich je beze zbytku dělitelné číslem 3? Nevíš, že jo. Já ale snadno vím, že beze zbytku je číslem 3 dělitelné to první číslo 1011. A dokážu to snadno poznat i u daleko větších čísel, třeba 1301244. Také tohle číslo je beze zbytku dělitelné číslem 3 – nevím sice, kolik jaký výsledek by mi u toho dělení vyšel, ale vím, že by mi vyšlo celé číslo.“

Gerda byla zmatená, musel jsem jí tedy prozradit svůj počítací trik. To, jestli celé číslo je beze zbytku dělitelné číslem 3, snadno zjistíme tak, že sečteme jednotlivé číslice (číslice nebo číslovky jsou znaky pro čísla). Pokud je výsledný součet dělitelný 3, je i původní číslo dělitelné 3. U čísla 1011 je součet číslic 1 + 0 + 1 + 1 = 3, a to je samozřejmě dělitelné číslem 3. U čísla 1012 platí, že součet číslic je 4, a tedy původní číslo nemůže být beze zbytku dělitelné 3. Konečně, u toho mého velkého čísla 1301244 platí, že součet číslic je 15. A samozřejmě, 15 je beze zbytku dělitelné 3, a proto je beze zbytku dělitelné i to původní velké číslo.

„Hmm, ale proč to tak funguje?“ zeptala se zamyšleně Gerda.

„To si sice vysvětlíme, ale až někdy později, až se trochu seznámíme s algebrou. Bojím se, že to je zákonitost, na kterou by už ani chytré vrány nepřišly.“

Druhá věc, kterou jsem jí předvedl, byl jednoduchý počítací trik. Všichni školáci se dnes učí malou násobilku, to je násobení všech čísel od jedné do deseti. Dříve se ale učila i velká násobilka, což je násobení všech čísel od jedné do dvaceti. To už je větší výzva. Pro násobení číslem 11 existuje ale velmi snadný počítací trik, pomocí nějž rychle vypočítáme nejenom násobky 11 a čísel od 10 do 20, ale rovněž násobky 11 a mnohem větších čísel. Pro začátek jsem psím holkám předvedl, jak násobíme číslem 11 čísla od 10 do 99.

Trik je jednoduchý: Výsledný součin je číslo, kde na začátku a na konci jsou číslice toho původního čísla a uprostřed jejich součet. Pokud součet těch číslic přesáhne 10, je uprostřed druhá číslovka z toho součtu a číslovku vlevo musíme o jednu zvětšit. Spočítejme 11 × 14. Platí, že 1 + 4 = 5, proto ve výsledném trojciferném čísle jsou na začátku a na konci 1 a 4, uprostřed 5. Platí tedy 11 × 14 = 154. Spočítejme 11 × 72. Platí, že 7 + 2 = 9, tedy ve výsledku jsou na začátku a na konci číslice 7 a 2 a uprostřed 9. Dostaneme 11 × 72 = 792. Když počítáme 11 × 78, je součet 7 + 8 = 15, tedy vlevo bude číslovka 8 (protože 7 + 1 = 8, číslovku 7 jsme museli o jednu zvětšit), uprostřed 5, a na konci 8. Dostaneme 11 × 78 = 858.

Když jsem Gerdě předvedl tyto počítací triky, koukala na mne s vykulenýma očima a vyplazeným jazykem. Gája samozřejmě už ve svém psím pelíšku spokojeně pochrupovala.

Úkoly

1. Která z následujících čísel jsou beze zbytku dělitelná číslem 3?

(a) 111 111 555

(b) 123 123 321

(c) 123 456 789

(d) 543 210 668

2. Přijdete na to, jak snadno poznat, jestli je nějaké číslo beze zbytku dělitelné číslem 6?

(a) 123 456 234

(b) 123 456 244

(c) 456 789 264

(d) 987 654 112

3. A konečně, jak to je podle vás s dělitelností číslem 9? Dokážete bez použití kalkulačky zjistit, která z následujících čísel jsou beze zbytku dělitelná číslem 9?

(a) 111 111 111

(b) 777 333 555

(c) 111 222 333

(d) 111 222 111

4. Zkuste z hlavy vypočítat následující součiny.

(a) 11 × 27

(b) 11 × 35

(c) 11 × 79

(d) 11 × 97

O počátcích počítání v různých starých kulturách a civilizacích se lze dočíst opět ve druhé kapitole knihy BARROW, John D. Pí na nebesích: o počítání, myšlení a bytí. Kolumbus. Praha: Mladá fronta, 2000. ISBN 80-204-0855-X.

Stručný výklad o sumerské matematice lze najít v knize: BEČVÁŘ, Jindřich; BEČVÁŘOVÁ, Martina a VYMAZALOVÁ, Hana. Matematika ve starověku: Egypt a Mezopotámie. Dějiny matematiky, svazek 23. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-255-4. Kniha je dostupná ke stažení z webu DML-CZ (Czech Digital Mathematics Library), URL = https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/401848.

Počítací trik s násobením číslem 11 a spoustu dalších návodů na rychlé počítání lze najít v knížce BENJAMIN, Arthur a Michael SHERMER. Tajemství bleskové matematiky: průvodce světem podivuhodných matematických triků a uměním bleskových výpočtů. Zlín: Kniha Zlín, 2015. ISBN 978-80-7473-371-0. K triku s číslem 11 se ještě vrátíme a podrobně si vysvětlíme, proč funguje.

Řešení úkolů