Článek
Proč 64 nestačí
Když se řekne šachovnice, každý si vybaví 64 malých políček. Černé a bílé, osm řad, osm sloupců. Jenže otázka nezní „kolik je na šachovnici políček“, ale „kolik je na ní čtverců“. A to je zásadní rozdíl. Na šachovnici se totiž skrývají čtverce nejrůznějších velikostí, které přesahují hranice jednoho políčka. Čtverce o straně 2, 3, 4 políček a tak dál, až po jeden obrovský čtverec, který tvoří celá šachovnice.
Zkuste to nejdřív sami
Než se podíváte na řešení, vezměte si tužku a papír. Zamyslete se: kolik různě velkých čtverců na šachovnici 8×8 vlastně existuje? Počítejte všechny velikosti, od nejmenších po největší. Až budete mít svůj tip, čtěte dál.
Jak na to krok za krokem
Klíčem k řešení je systematický přístup. Na šachovnici můžeme najít čtverce o straně 1 políčko, 2 políčka, 3 políčka a tak dále až po stranu 8 políček. Pro každou velikost je potřeba spočítat, kolik takových čtverců se na plochu šachovnice vejde.
Šachovnice
Čtverce o straně 1 políčko
Tady je to jednoduché. Každé políčko je samo o sobě čtverec 1×1. Na šachovnici jich je 8 × 8 = 64.
Čtverce o straně 2 políčka
Čtverec 2×2 potřebuje zabrat dva sloupce a dva řádky. Levý horní roh takového čtverce může být v prvním až sedmém sloupci a v prvním až sedmém řádku. To dává 7 × 7 = 49 čtverců.
Čtverce o straně 3 políčka
Stejnou logikou: 6 × 6 = 36 čtverců.
A tak dál pro každou velikost
Vzorec je elegantní. Čtverec o straně n políček lze na šachovnici umístit (9 − n) × (9 − n) způsoby. Tím dostáváme:
Velikost Počet 1×1 8 × 8 = 64 2×2 7 × 7 = 49 3×3 6 × 6 = 36 4×4 5 × 5 = 25 5×5 4 × 4 = 16 6×6 3 × 3 = 9 7×7 2 × 2 = 4 8×8 1 × 1 = 1
Celkový součet
Stačí sečíst všechna čísla: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204
Na šachovnici 8×8 se nachází přesně 204 čtverců.
Proč to skoro nikdo neuhodne
Lidský mozek má tendenci vidět jen to nejzřejmější. Šedesát čtyři políček je to, co na šachovnici vidíme každý den. Ale čtverce vzniklé spojením více políček jsou neviditelné, dokud se na ně někdo nezeptá. Právě proto ten, kdo řekne 64, opravdu nemá ani polovinu. Ve skutečnosti nemá ani třetinu. Správná odpověď je víc než trojnásobek toho, co by většina lidí tipovala, a to je na téhle hádance to krásné.
