Článek
Proč se na tom tolik lidí spálí
Někteří začnou hádat. „Tak třeba 31, 33, 35? Ne, to je málo. Asi 33, 35, 37.“ A už si nejsou jistí, jestli to vůbec sedí. Jiní zkusí podělit 99 třemi a dostanou 33, ale pak začnou pochybovat, jestli to platí i pro lichá čísla, nebo to byl jen šťastný náhled.
A někteří suverénně řeknou: „Liché plus liché plus liché? To je přece liché. 99 je liché, takže to nějak vyjde, ale prostřední číslo bude něco kolem třiatřiceti, šestatřicet, sedmatřicet…“ A motají dohromady jablka s hruškami.
Zkuste si to sami
Než budete pokračovat, zastavte se na chvíli. Tři po sobě jdoucí lichá čísla. Jejich součet je 99. Jaké je to prostřední?
---
Klíč je v symetrii, ne v dělení
Označme si tři po sobě jdoucí lichá čísla. Lichá čísla jdou po sobě s rozestupem 2 (například 5, 7, 9). Když si prostřední číslo pojmenujeme jako n, pak:
První číslo je n − 2 Prostřední je nTřetí je n + 2
Sečteme to a uvidíme krásu
Sčítáme tedy (n − 2) + n + (n + 2). Mínus dvojka a plus dvojka se navzájem vyruší. Zbývá n + n + n, tedy 3n. A to se má rovnat 99.
3n = 99 n = 33
Prostřední číslo je tedy 33. Trojice vypadá takto: 31, 33, 35. Zkouška: 31 + 33 + 35 = 99. Sedí to.
Proč je tahle úloha zákeřná
Lidé si myslí, že u lichých čísel nemůže fungovat obyčejné dělení třemi, protože „33 je sice liché, ale co když výsledek vyjde sudý?“ Tahle obava je zbytečná. Když máte tři čísla rozložená symetricky kolem středu, jejich průměr je vždy přesně to prostřední číslo, ať už jsou to lichá, sudá nebo libovolná čísla v aritmetické posloupnosti.
Stejně by to fungovalo u tří po sobě jdoucích sudých čísel se součtem 96 (prostřední 32) nebo u tří libovolných čísel jdoucích po sobě se součtem 90 (prostřední 30). Pravidlo o symetrii je univerzální.
Správná odpověď
Prostřední číslo je 33. Trojice je 31, 33, 35.
Tenhle příklad je krásnou ukázkou toho, jak se v matematice vyplatí hledat strukturu místo počítání naslepo. Kdo se zastavil u dělení 99 ÷ 3 bez rozmyslu, měl tentokrát štěstí, že mu vyšlo správně. Kdo ale pochopil, proč to vyšlo, ten si odnese mnohem víc. A přesně proto platí, že kdo na tuhle otázku odpoví bez přemýšlení, většinou nemá ani polovinu.
