Článek
Je to jeden z nejběžnějších předmětů kolem nás a zároveň málokdy působí jako něco, nad čím by stálo za to přemýšlet. Papír A4 se vejde do tiskárny, do šanonu, do obálky, na školní lavici i do kancelářského zásobníku. Jeho rozměr 210 × 297 milimetrů jsme přijali jako samozřejmost.
Jenže čísla 210 a 297 nejsou náhodná ani estetický rozmar výrobce papíru. Za formátem je jednoduchá matematická podmínka: když obdélník rozpůlíte přes delší stranu, vzniklé dvě poloviny mají mít stejný tvar jako původní list. Ne stejnou velikost, ale stejné proporce.
A právě tahle podmínka vede k číslu, které se ve školní matematice často tváří abstraktně: k odmocnině ze dvou.
Když A4 rozpůlíte, nechcete dostat jinak „placatý“ obdélník
Představme si obdélník, jehož kratší strana má délku a a delší strana b. Chceme, aby po rozpůlení delší strany vznikl nový obdélník o stranách a a b/2, který bude původnímu podobný.
U původního listu je poměr delší a kratší strany b/a. U poloviny se role stran otočí: delší je nyní a a kratší b/2. Poměr tedy bude a/(b/2), což je 2a/b. Aby byly oba obdélníky podobné, musí se tyto poměry rovnat.
Z rovnice b/a = 2a/b dostaneme b² = 2a², a tedy b/a = √2. Jinými slovy: jediný poměr stran, který přežije opakované půlení bez změny tvaru, je 1 : √2, tedy přibližně 1 : 1,4142.
U skutečné A4 je poměr 297/210 = 1.414286. Od √2 se liší jen asi o 0.0051 %, protože normované rozměry jsou uvedené v celých milimetrech a musí se prakticky zaokrouhlovat.
A0 má mít metr čtvereční. A4 je čtyřikrát rozpůlená A0
Druhá chytrá vlastnost systému je plocha. Základem řady A je formát A0. DIN popisuje princip tak, že A0 vychází z plochy jednoho metru čtverečního a má rozměry 841 × 1189 mm. Každé další číslo znamená jedno rozpůlení: A0 → A1 → A2 → A3 → A4.
A4 je tedy ideálně šestnáctina čtverečního metru. Matematicky 1/16 m² znamená 0,0625 m² neboli 625 cm². Když ale vynásobíme skutečné normované rozměry 210 × 297 mm, dostaneme 62 370 mm², tedy 623,7 cm². Rozdíl proti ideální šestnáctině je jen asi 1,3 cm² a vzniká právě kvůli zaokrouhlení rozměrů na celé milimetry.
To je zároveň důvod, proč se při přesném fyzickém rozříznutí A4 objeví drobná nuance. Polovina delší strany 297 mm je 148,5 mm, zatímco běžně uváděný normovaný rozměr A5 je 148 × 210 mm. Princip podobnosti je matematicky přesný, praktické normované rozměry jsou jeho celočíselná milimetrová aproximace.
Tiskárna z toho těží dodnes: 70,7 % dolů, 141,4 % nahoru
Matematika řady A není jen hezký historický trik. Je praktická při kopírování a tisku. Pokud chcete plochu zmenšit na polovinu, délky stran se nemohou zmenšit na 50 %. Musí se vynásobit odmocninou z jedné poloviny, tedy přibližně 0,7071.
Proto přechod z A4 na A5 odpovídá zmenšení rozměrů zhruba na 70,7 %. Opačným směrem je potřeba násobit √2, tedy asi 141,4 %. Dokument navržený na A4 lze díky stejnému poměru stran zvětšit na A3 bez toho, aby se jeho obsah musel překomponovat do jiného tvaru stránky.
Stejný princip se hodí i grafikům, kopírkám a kancelářským systémům. Okraje se mohou měnit podle tiskárny a nastavení, ale samotný formát zůstává geometricky kompatibilní s dalšími členy stejné řady.
Standard je z roku 1922, myšlenka je ale starší
DIN připomíná, že poměr 1 : √2 se objevoval už na konci 18. století. Historický přehled DIN zmiňuje Georga Christopha Lichtenberga, který k tomuto poměru dospěl desítky let před průmyslovou standardizací papíru.
Na začátku 20. století se problémem zabýval také Wilhelm Ostwald a následně inženýr Walter Porstmann. Právě Porstmann rozpracoval systém, který spojil dvě podmínky: podobnost formátů při půlení a základní plochu A0 jednoho metru čtverečního.
Dne 18. srpna 1922 pak německý normalizační institut zveřejnil DIN 476. Podle DIN začalo systém už na podzim 1923 používat ředitelství německých státních drah. Z německého standardu se později stal základ dnešní mezinárodní normy ISO 216. Aktuální vydání ISO 216:2007 bylo podle ISO znovu potvrzeno v roce 2021.
Proč ne prostě čtverec? Protože první řez by ho zničil
Na první pohled by mohl být nejjednodušším standardem čtverec. Jenže čtverec o poměru 1 : 1 se po rozpůlení změní na obdélník 1 : 2. Dalším půlením by se tvar zase změnil. Každý formát by potřeboval jinou sazbu dokumentu, jiné proporce a jiné řešení při zvětšování nebo zmenšování.
Poměr 1 : √2 řeší přesně tento problém. Je to geometrický kompromis, který nevypadá nijak exoticky, ale při opakovaném dělení se chová mimořádně prakticky.
210 × 297 mm tedy není podivná dvojice čísel. Je to důsledek systému
Kdybychom se na A4 dívali izolovaně, rozměry 210 a 297 milimetrů působí zvláštně. Proč ne 200 × 300? Proč ne 220 × 300? Odpověď se ukáže až ve chvíli, kdy A4 přestaneme brát jako jeden list a uvidíme celou řadu.
A0 začíná přibližně na jednom metru čtverečním. Každým půlením se plocha zmenší na polovinu. Poměr stran 1 : √2 zaručí, že se přitom nezmění tvar. Po čtyřech půleních skončíme u A4. A čísla 210 × 297 mm jsou prakticky zaokrouhleným výsledkem tohoto systému.
Je to pěkný příklad standardu, který funguje tak dobře, že si jeho konstrukce skoro nevšímáme. Každý den vezmeme do ruky kus papíru a spolu s ním i stoletou normalizační dohodu postavenou na jedné odmocnině.
Zdroje a ověření
