Fyzika IX. Zlatý řez v perspektivním prostoru

Zlatý řez vyjadřuje mimořádný poměr dvou stran obdélníka. Vyznačuje se ladností, pro kterou lidé vybírají tento poměr stran - když dbají svého dobrého pocitu. Zlatý řez má mít uplatnění nejen ve výtvarném umění, fotografii a architektuře, ale i v hudbě, v biologii i v posuzování rozměrů lidského těla.

Gustav Theodor Fechner ověřoval jev zlatého řezu hodnocením lidských pocitů a názorů a potvrdil ho [1].

Ještě i ve 20. století byl jev znovu posuzovaný - odmítaný, nebo přijímaný. Upřednostňování obdélníku s takovým poměrem stran je staré tisíce let, proto tento přístup nepodceňme.

Navíc poměr zlatého řezu ukazuje nejen geometrie našich zážitků, ale zásadním způsobem i samotná matematika. Našla jej v oboru Fibonacciho čísel.

Matematika zdůvodňuje, co je poměrem zlatého řezu.

Obrázek se zlatým řezem ukazuje dva podobné trojúhelníky. Menší má odvěsny: b a a, větší: a a (a+b). Znázorňují poměry vyjádřené rovnicí.

Slovy lze vyjádřit vztah dvou stran obdélníka zlatého řezu: Poměr součtu obou stran a + b ku delší straně a je roven poměru delší strany a ku kratší b. Vypočítaný poměr je

a/b = (1 + √5)/2.

Podíl je iracionální: 1,6180339887498…

Obdélník sestrojím v poměru stran (1 + √5)/2 a to v Euklidově prostoru. Svislou stranu obdélníka zvolím b = 2, a delší vodorovnou stranu a = 1 + √5 = |-1| + √5.

Pro grafické zobrazení výrazu vyznačím 1 do záporného směru. Poměr zlatého řezu je daný iracionálním číslem, jak určuje odmocnina z 5. Tedy nepřesně.

Dál poměr prověřím v perspektivním prostoru. Perspektiva má jinou geometrii, proto i matematický poměr bude jiný. Jestliže výraz (1 + √5)/2 není ničím výjimečný, zde se to může změnit. Přepočet stran obdélníka b = 2, a = 1 + √5 je snadný; výraz určuje, do kterého místa obrazec zakreslit. Souřadnice bodů [-1;0], [√5;0], [0;2] umocním na druhou. Nové souřadnice [-(-1)2;0], [5;0], [0;4] rozmístím v perspektivním prostoru (obr. 3).

Jednotková délka se převádí beze změny – na vodorovné se do úseku od 0 k záporné jedničce.

Délku √5 nahradí délka 5.

Svislou délku b = 2 nahradí délka 4.

Perspektiva: Matematika vyjádřila délky stran bez zaokrouhlení – přesně. Vznikl obdélník o stranách b = 4 a a = 6. Příčinou odlišného údaje o délkách je jiný průběh cejchování os.

Z diskrétního do perspektivního prostoru se body převádějí přesně. Vycházejí z kartézských souřadnic. Nevypočitatelné iracionality se nevyskytnou. Pak naše zrakové perspektivní zážitky posuzuji, že jsou odvozené z diskrétního prostoru. Ten ať je zásobárnou údajů pro smyslové vjemy tvora. Perspektivní prostor užívá osy cejchované kvadratickým měřítkem. V odvěkém zrakovém prostoru je poměr stran již nikoliv 1:1,618…, vždy nepřesných, nýbrž 2:3.

V odvěkém zrakovém prostoru je poměr stran již nikoliv 1:1,618…, vždy nepřesných, nýbrž 2:3.

My lidé, ve své nedbalosti, důležitosti matematiky příliš nedbáme. Jednoduše věříme svým smyslům a nedoceníme, že smyslová čidla – oči, uši – jsou vytvořena ze stejné hmoty, jejíž skutečnost posuzujeme.

Jako kdyby se člověk chtěl dozvědět, zda je automechanik šikovný. Šel by za ním a zeptal by se ho, zda pracuje zodpovědně?

Podobně nezodpovědně z pocitů, které máme ze zážitků hmoty, usuzujeme na skutečnost hmoty.

A jak s matematikou?

Počítáme nekončící iracionality, například Ludolfovo číslo π. Sebevědomě popisujeme Vesmír zaokrouhlováním neznámých výsledků. Neexistujících výsledků.

Naopak jednoduše pojatý prostor perspektivního vidění lze matematizovat vždy racionálně. Poskytne konečný výsledek. Protože do perspektivního prostoru lze přecházet z diskrétního (bodového), pak mohu napsat: poskytne vždy konečný výsledek.

Euklidův prostor se vynechá, v něm poměr zlatého řezu 1:1,618… Užívá iracionální - neskutečné číslo.

Řešení v jiné geometrii, v perspektivním prostoru, vyčísluje ten samý zlatý řez jiným poměrem: 3 ku 2. Jsou to čísla celá, a k tomu velmi malá. Takovou pěkně uspořádanou souvislost také přiřazuji k příčině, proč nevěřit ve skutečnost Euklidova prostoru.

Opakuji: 3 ku 2 jsou čísla celá a k tomu velmi malá. Zjevně je vybrala Civilizace, když tvořila Vesmír. Ovšem na ten první odkaz pozor, různé mimovědecké poznatky už jsou o kus dál.

Následně tedy je vhodné chápat náš život - virtuální realitu, s navazujícími mnoha důsledky. K porozumění se nabízí například každodenní rozhovory - videa stránky Cesty k sobě - kromě vlastního času je třeba i štěstí na kvalitní náplň. Kdo nemá čas, mrkne na stránce Novou cestou na krátké články.

Ale znalý matematik - vědec, by souvislosti sestavoval výstižněji.

[1] Mario Livio: Zlatý řez. Nakladatelství Dokořán, Praha 2006.

[2] Obrázky - všechny vyrobil Bohumír Tichánek, autor tohoto příspěvku na medium seznam cz.