Článek
POVÍDÁNÍ O TVARU
Tvar je záznam slov, někdy mluvíme o „tvarosloví“. Jiným formám záznamů říkáme písmo, obraz, plastika, graf, vzorec, socha, petrograf. Povídejme si tedy o tomto slově. Tvar je srovnávání se s určitým vzorem. Vzory někdo pojmenoval, kategorizoval. Sám o sobě tvar neexistuje, jenom „řeči o něm“. Přesto v iluzi jeho existence jsme uvízli jako moucha lapená do pavučiny.
Lidé sive své fantazii vytváří měřítka a vlastnosti tvaru. Něco nazývají malým, jiné velkým. Slovo vlastnost představuje cosi vlastní, náležící někomu nebo něčemu, evidentně podstatě. Zabývejme se podstatami geometrickými, jenž člověk vymyslel a které se v čase příliš nemění.
Ke tvaru se přibližujeme také slovem proporce, což znamená porovnáním jednoho a téhož parametru dvou objektů. Do hry vstupuje individuální úsudek, relativita našeho vnímání. Něco je přece dlouhé a delší, tlusté a tlustší, krásné a krásnější. K určenímezí (limit) nějaké vlastnosti užíváme předponu „nej“, jako nejdelší, nejtlustší, nejkrásnější!
V geometrii užíváme slova pro vlastnosti, které neumíme definovat. Vědomě se smiřujeme s tím, že máme nějakou společenskou úmluvu, a proto myslíme všichni diskutující tu stejnou „věc“, a její vlastnost. Základníje idea (myšlenka) přímosti, která se promítla do vlastností přímky. Co ale s tím dále? O přímce prohlašujeme, že její druhou hlavní vlastností je neomezenost, „nekonečnost“. Tato vlastnost se špatně poměřuje s jinými „délkami“. Staří filosofové měli problém s nekonečny, ti dnešní na tom nejsou lépe. Říkají: Nezaplétat se s nimi!
Euklides nevědomky došel k názoru, že prostor je hladký (nezakřivený), a tak se trefil dost přesně do dnešních pozorování trojrozměrného prostoru kolem nás. Přímku jako tvarovou podstatu bylo nutné rozdělit na dvě neomezené části (polopřímky), přičemž nevhodnější se jevily její výseče, úsečky. Ty jsme přijali s tím, že představují „nejkratší“ vzdálenost mezi dvěma hraničními body. Zde se našel konsenzus mezi první a druhou vlastností tvaru, přímostí a vzdáleností.
Přímost či křivost představují „vztah“ dvou bodů, okamžik jeho měření. Pokud se vztah v čase nemění, hovoříme o konstantní „křivosti“. Za předpokladu, že kterýkoliv bod obrazu vztahu má konstantní vzdálenost od bodu na něm neležícím (tedy i od nevlastního), pak je křivost vztahu v hodnotách od nuly do nekonečna. Relativní odlehlost dvou vlastních bodů leží na ploše zvané kulová, jejíž rovinné řezyvytváří průnikové křivky konstantní křivosti, kružnice, a jimi uzavřená plocha nese název kruh.
Rovinnost je první vlastností „Roviny“, vzniklé jako vztah dvou různoběžek, přímek s jedním společným bodem. Protne-li obě současně třetí přímka, za vzniku dalších dvou průsečíků, potom uzavřenou část roviny třemi úseky přímky nazýváme trojúhelníkem. Tento objekt říká, že každé dvě různoběžky nebo tři body v prostoru definují jednoznačně jednu rovinu. Rovina je semeništěm spousty geometrických objektů, například všech polygonů, pravidelných i obecných, kuželoseček a jejich segmentů, křivek a oblouků, … .
Úhel (gonus) je další jev mezi dvěma přímostmi. Přímost značíme malým řeckým písmenem P (π). Pokud se „zlomí“ přesně na dvě poloviny (π/2), pak každou polovinu nazýváme pravým úhlem. Čtverce a obdélníky uzavírají část roviny čtyřmi úsečkami v ortogonálním (pravoúhlém) vztahu. Jejich přímkovým řezem z vrcholu do vrcholu vzniknou dva identické (pravoúhlé) trojúhelníky.
Trojúhelník je zásadní polygon pro vědění všeho druhu, symbolem stability, jest jednotkou plochy. Každýpolygon lze rozložit na N trojúhelníků. Tvar trojúhelníku je možné vyjádřit i jediným slovem, „Rovnostranný“, čímž se dostává mezi elitní pojmy ploch typu kruh, čtverec. „Rovnoramenný“ má dvě strany a dva vnitřní úhly shodné velikosti, „Pravoúhlý má jeden vnitřní úhel pravý (π/2) a součet dvou zbývajících taktéž (π/2).
A po dvou tisíciletích to nečekaně přišlo. Pan Euklides prý nepočítal se zakřivením prostoru, čímž „některé trojúhelníky“ prý mají součet vnitřních úhlů větší než přímost (π), jiné menší než π. Vysvětlujeme to na dvou typech „sférických trojúhelníků“. A to dost rafinovaně! Úhel je „vztah dvou přímostí“ (různoběžek), nikoliv dvou kružnic na kulové ploše. Při konstantní křivosti kulové plochy tak měříme úhel vždy mezi dvěma tečnami (párem) v témže bodě. Zůstává nám víra, že tento model zakřivení čtyřrozměrného prostoru se šesti tečnami ve třech různých bodech je ten správný.
Pokud definice trojúhelníku je stále taková, jaká kdysi bývala, že tři různé body v prostoru jsou spojeny třemi „nejkratšími“ cestami mezi nimi, pak v konvexním (kulovitém) prostoru mohou všechny tři body ležet na „rovníkové kružnici“. Spojnice mají tvar kružnicových oblouků a plocha „trojúhelníku“ tvar kruhu. V konkávním(sedlovitém) prostoru tvar propadlé Mercedes hvězdy. V prvém případě součet vnitřní úhlů 3π (540°), v druhém případě úhlů 0.π (0°).
Tvar čehokoliv je věcí dohody mezi diskutujícími, pokud si věří. Jestliže některý bod na spojnici dvou různých bodů rozsvítíme (dáme mu jméno), pak jej můžeme nazvat „vrcholem polygonu“. Třeba z trojúhelníku se stane čtyřúhelník, z pětiúhelníku šestiúhelník atd. Součty vnitřních (α) nebo vnějších (β) úhlů odpovídají (dle vzorce) názvu polygonu. ∑αN = (N-2) . π; ∑βN = (N+2) . π
Josef Ježek
