Vykřičník, který přeroste vesmír. Proč je 100! tak obrovské číslo

Představte si firemní večeři pro deset lidí. Hostitel chce všechny rozsadit do jedné řady a hledá „nejlepší“ pořadí. První host si může vybrat z deseti židlí, druhý už z devíti, třetí z osmi a tak dál. Výsledek vypadá nevinně: 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1.

Jenže součin dává 3 628 800 různých zasedacích pořádků. Přidejte dalších deset lidí a dostanete 2 432 902 008 176 640 000 možností. Kdybyste zkoušeli jednu za sekundu, práce by zabrala přes 77 miliard let. NASA přitom stáří vesmíru odhaduje na přibližně 13,8 miliardy let. Číšníci už by dávno odešli domů.

A pořád pracujeme jen s dvaceti židlemi. U stovky lidí naroste počet pořadí na 100!, tedy číslo se 158 ciframi. Je zhruba o 78 řádů větší než odhadovaný počet částic v pozorovatelném vesmíru. Žádná vyšší matematika, žádné nekonečno. Jen násobení celých čísel.

Zápis 100! se čte „sto faktoriál“. Matematická encyklopedie MathWorld vysvětluje faktoriáljako počet způsobů, kterými lze uspořádat n různých objektů. Výpočet začíná daným číslem a pokračuje násobením všech kladných celých čísel až k jedničce. Právě tam také najdete údaj, že 100! má 158 číslic.

U pěti předmětů dostanete 5! = 120. Deset předmětů vytvoří přes tři a půl milionu pořadí. Dvacet přeskočí dvě miliardy miliard. Třicet už vyrobí přibližně 2,65 × 1032 možností.

Důvod je prostý. Každý nový předmět nerozšíří starý seznam o jednu položku, ale rozmnoží všechny dosavadní možnosti. K šesti uspořádáním tří knih nepřidáte čtvrtou knihu jen jednou. Můžete ji vložit před první knihu, mezi první a druhou, mezi druhou a třetí nebo úplně dozadu. Šest pořadí se rázem změní ve čtyřiadvacet.

Lidská intuice čeká schody. Kombinatorika postaví eskalátor, který každým patrem zrychlí.

U mocniny 2n se každý další přepínač násobí dvěma. U n! se násobitel neustále zvětšuje: nejprve je to 2, potom 3, 4, 5 a dál. Faktoriál proto nakonec uteče i běžné exponenciále s pevným základem. Při deseti prvcích je 10! zhruba 3 544krát větší než 210. Při stovce naroste poměr přibližně na 7,36 × 10127. Dvě možnosti u každého prvku jsou nepříjemné. Všechna pořadí všech prvků hrají úplně jinou ligu.

Obyčejný balíček obsahuje 52 různých karet. Počet jejich možných pořadí je 52!, tedy přibližně 8,07 × 1067. Číslo má 68 cifer.

Zkuste si jeho velikost přeložit do strojového času. Představte si miliardu počítačů, z nichž každý vytvoří miliardu nových pořadí za sekundu. Nechte je běžet po celých 13,8 miliardy let. Dohromady by vyzkoušely asi 4,35 × 1035 uspořádání. K úplnému seznamu by jim stále chybělo více než 32 řádů.

Proto je při ideálně náhodném zamíchání přesná shoda s některým dřívějším pořadím krajně nepravděpodobná. Neznamená to ovšem, že každé lidské zamíchání vyrábí dokonale náhodný balíček. Materiál Cornellovy univerzity věnovaný výsledku Davea Bayera a Persiho Diaconise ukazuje, že u běžného prokládacího míchání se balíček výrazně přiblíží rovnoměrnému náhodnému rozdělení zhruba po sedmi opakováních.

Rozdíl je podstatný. Obrovský počet možných stavů automaticky nezaručuje, že se mezi nimi pohybujete spravedlivě. Je to jako mít dálnici se šedesáti osmi ciframi sjezdů, ale volantem neustále uhýbat doprava.

Faktoriál počítá pořadí. V řadě Anna–Boris–Cyril vzniká jiná možnost než Cyril–Boris–Anna. Někdy však pořadí nehraje roli. Jestli vybíráte pět lidí do komise, nezáleží na tom, v jakém pořadí jste jejich jména vyslovili.

Tehdy nastupují kombinace. MathWorld je definuje jako výběr k prvků z n možností bez ohledu na pořadí. Při výběru pěti lidí z padesáti existuje 2 118 760 skupin. Kdyby pořadí rolí význam mělo, počet by vyskočil na 254 251 200. Rozdíl tvoří přesně 5!, protože každou pětici lze uvnitř seřadit 120 způsoby.

Ani kombinace však nejsou žádný drobeček. Vybrat padesát lidí ze stovky lze přibližně 1,01 × 1029 způsoby. Sto jednoduchých voleb typu ano–ne vytvoří 2100 možností, což je asi 1,27 × 1030.

Ještě ostřejší měřítko nabízí 266 přepínačů. Každý může být zapnutý, nebo vypnutý. Celkem vytvoří 2266 stavů, tedy přibližně 1,19 × 1080. Přehled na serveru NASA/IPAC při Caltechu uvádí počet částic v pozorovatelném vesmíru řádově kolem 1080. Pouhých 266 binárních rozhodnutí tak stačí k překročení kosmického měřítka.

Velká čísla vypadají na papíře neškodně. Počítač ovšem nezajímá počet cifer, ale množství práce. Jestli má projít všechny možnosti, musí každou vytvořit, zkontrolovat nebo alespoň nějak reprezentovat.

Vezměte 30!. Stroj, který zvládne bilion kontrol za sekundu, by potřeboval asi 8,4 bilionu let. To je více než šest set současných stáří vesmíru. U 100! by stejná úloha zabrala přibližně 2,96 × 10138 let. Nuly už zde nepomáhají představivosti, jen zabírají místo.

Právě proto programátoři a matematici málokdy zkoušejí všechno. Hledají symetrie, zahazují celé větve možností, rozdělují problém na menší části nebo přijmou dostatečně dobré řešení místo dokonalého. Hrubá síla se proti faktoriálu chová jako člověk s čajovou lžičkou proti přehradě.

Má to však uklidňující stránku. Číslo 100! samo o sobě žádný prostor nezabírá. Můžete je zapsat čtyřmi znaky, počítat s ním symbolicky a jeho 158 číslic se vejde na jednu stránku. Do vesmíru se „nevejde“ až seznam všech možností, kdyby každá potřebovala vlastní fyzickou značku.

„Máme jen sto hostů.“ „Program má jen 266 přepínačů.“ „Trasa vede jen přes třicet míst.“ V běžné řeči zní podobná čísla skromně. Rozhodující však není počet prvků, ale způsob, jakým se smějí spojovat.

U jedné volby přibude jeden řádek. U nezávislých voleb se počet stavů násobí. U pořadí všech prvků nastoupí faktoriál a po několika krocích rozdrtí jakýkoli pokus o úplný výčet.

Až budete příště přesazovat hosty, míchat karty nebo nastavovat několik desítek přepínačů, vzpomeňte si na malý vykřičník za stovkou. V matematice někdy stačí jediný znak, aby se z obyčejného seznamu stal prostor větší než všechno, co můžeme pozorovat.

P.S.

Díky, že jste dočetli až sem! Až příště budete přesazovat deset hostů nebo míchat balíček karet, vzpomeňte si, že za obyčejným pořadím číhá číslo, na které nestačí ani stáří vesmíru. Na podobných tématech mě baví chvíle, kdy školní vykřičník přestane být značkou v sešitě a ukáže něco hlubšího o limitech intuice i počítačů. Jestli vás článek posunul nebo vám zpříjemnil cestu matematikou, budu rád za podporu. Pomůže mi psát další články, které převádějí velká čísla, fyziku a vědu do obrazů, jež si člověk opravdu dokáže představit. I malý příspěvek pomůže.