Článek
Svět kolem nás je v neustálém pohybu. Otázkou je, jak ho popsat. Můžeme zkusit matematiku, která se historicky osvědčila. Čísla jsou užitečným nástrojem pro popis množství kusů, geometrie pak exceluje v zachycení tvarů. S pohybem je ale problém, protože čísla a geometrické obrazce jsou statické. Co tedy s tím?
Ač to může znít divně, k pochopení pohybu potřebujeme pochopit nekonečno. Starověký učenec a filozof Zenon jako první přišel s paradoxy o pohybu [1]. Zenon uvažoval nějak takto: Je všeobecně známo, že mocný bojovník Achilles je o mnoho rychlejší než pomalá želva. Mají-li tito dva spolu závodit, bude jistě spravedlivé, aby pomalá želva dostala náskok. Kdo nakonec závod vyhraje?
Je odstartováno. Achilles vyrazí od startovní čáry, a když doběhne do místa, ze kterého startovala želva, želva bude již o malý kousek dále. Když Achilles opět dorazí do místa, kam se posunula želva, ta bude zas o kus dále. Úseky, o které vede želva před Achillem se sice zmenšují, ale bude to želva, která protne vítězoslavně cílovou pásku. Podle Zenona nemůže chrabrý Achilles v tomto závodě nikdy vyhrát. Zenonův myšlenkový pokus je ovšem v rozporu s naší zkušeností, kdy nepochybujeme o jasném Achillově vítězství. Kde se tedy stala chyba?
Klíčem je naučit se pracovat s nekonečnem. Konkrétně se potřebujeme naučit sečíst nekonečnou geometrickou řadu [2]. A kupodivu to není tak těžké, jak by se mohlo zdát. Pro některé řady je možné sečíst nekonečně mnoho sčítanců v konečném čase! A to za trochu té námahy stojí, co říkáte?
Matematici se nakonec naučili pracovat s nekonečny a díky nim našli cestu k popisu pohybu pomocí funkcí. Funkce je abstraktní struktura, která říká, jak nezávislé proměnné (argumentu) x přiřadit funkční hodnotu y (závisle proměnnou) [3]. Chceme-li si funkci představit, je nejlepší načrtnout její graf. Protože pohyb znamená změnu, budeme se ptát: Jak rychle by se pohyboval jednorozměrný panáček žijící ve světe vymezeném křivkou dané funkce? Neboli v řeči matematiky se ptáme, jak rychle se mění funkce y = f(x) se změnou x. Nejlepší bude pracovat s konkrétním příkladem. Vezměme si funkci y = x2, jejímž grafem je parabola. Funkci máme na obrázku níže.
Graf paraboly diskutovaný v hlavním textu.
Jelikož chceme určit rychlost panáčka, můžeme o křivce uvažovat tak, že hodnoty proměnné x odpovídají času a hodnoty y vzdálenosti. Ze základní školy víme, že průměrnou rychlost v spočteme jako podíl uražené vzdálenosti za daný čas. Panáček vyrazí z místa P v čase x a po uplynutí času h dorazí do místa Q. Trajektorie jeho pohybu je úsek grafu funkce y = x2 mezi body P a Q.
Z obrázku vyplývá, že vzdálenost (hodnota y) v bodě P je x2 a v bodě Q je (x + h)2. Bude-li časový rozdíl h mezi body P a Q docela malý, bude červená úsečka spojující body P a Q poměrně dobře souhlasit se skutečnou trajektorií panáčka po úseku paraboly. Pro pohyb po úsečce PQ můžeme velmi snadno spočítat průměrnou rychlost jako
a po zjednodušujících úpravách (zkuste sami, je to brnkačka) dostaneme
Problém je, že tato rychlost je jen přiblížením ke skutečné rychlosti, kterou se panáček po křivce pohyboval. Co s tím?
Trik je v tom, že si na pomoc zavoláme nekonečno. Začneme podobně jako Zenon a čas pohybu h (nezávisle proměnná) budeme postupně zkracovat. Tak například zkrácením času na polovinu (h/2) se panáček dostane do bodu Q'. Vidíme, že nová úsečka PQ' ještě lépe souhlasí s grafem paraboly. Budeme-li takto pokračovat, bude se bod Q přibližovat k pevnému bodu P v důsledku zkracování času h. Spojnice bodů PQ pak stále lépe přiléhá k úseku paraboly mezi body P a Q, tj. je čím dál tím více k nerozeznání od skutečné trajektorie panáčka. Když v úsilí nepolevíme a zkracování času provedeme nekonečně krát, čas h se limitně přiblíží nule a červená úsečka splyne s úsekem paraboly.
A máme vyhráno! V této situaci bude vzoreček pro průměrnou rychlost souhlasit se skutečnou rychlostí panáčka po parabole. Dostaneme
Aniž bychom si to uvědomili, došli jsme k jednomu ze zcela zásadních průlomů v matematice. Totiž odvodili jsme předpis pro výpočet derivace funkce, která udává rychlost změny funkce [4]. Heuréka! Rozpohybovali jsme matematiku a otevřeli bránu k moderní fyzice, kde se bez derivací neobejdeme.
Zdroje:
