Článek
PŘÍSPĚVEK KE GOLDBACHOVĚ HYPOTÉZE
Christian GOLDBACH, čestný občan Královce (Kaliningradu, Königsbergu) a učitel mladého cara PETRA II., napsal roku 1742 dopis švýcarskému matematikovi Leonhardu EULEROVI s otázkou, zda by dokázal přeměnit domněnku o rozkladu každého sudého čísla na dvě prvočísla v matematickou větu. EULER, považovaný za „ztělesnění analýzy“, se o to léta snažil, ale nakonec musel kapitulovat. Josef V. Stalin obdaroval o dvě stovky let později (v roce 1941) ruského matematika Vinogradovova částkou 100 000 rublů za to, že učinil jistý krok k důkazu Goldbachovy hypotézy. Dodnes jde o nevyřešený problém!
Zadání problému Leonhardu EULEROVI Christianem GOLDBACHEM zní.
Myslíš si, že platí zcela obecně: E = P+P, kde E je libovolné sudé číslo a P jsou prvočísla
Symbolika v matematice musí být jednoznačná, aby nebylo pochyb o tom, co řešíme a co chceme sdělit. Je to úkol nadlidský, který vyžaduje disciplínu při používání symbolů. Množinu přirozených čísel (N) tvoří dvě podmnožiny kvality. Lichá (U) a Sudá (E) čísla, stejného počtu. Zapišme: N (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; …) = N (U; E; U; E; U; E; U; E; … .). Mezi lichými nacházíme další kvalitu, která tuto množinu dělí na dvě podmnožiny různě mohutné. Mezi lichými se nachází čísla „Prvočíselná“ (P) a „Kompozitní“ (Složená – (K)). Mezi sudými se nachází čísla Slabě sudá, „Hybridní“ (H)), a čísla Silně sudá „Masívní“ (M). Jaké mohou nastat vztahy mezi výše uvedenými kvalitami a jejich příklady:
E=K+K (24=9+15=M) ; E= K+P (22=9+13=H); E=P+P(24=11+13=M)
Neplatí, jak by se mohlo zdát (dle třetího příkladu), že součet dvou prvočísel je Masiv (M). Na příkladu uvidíme, že nikoliv. (18=7+11=H). Obecně se lichá čísla, podobně jako čísla sudá, dělí na dvě podmnožiny stejné mohutnosti a pravidelně se střídající v přirozené řadě čísel N. Pravidelné střídání čtyř kvalit přirozených čísel nazvěme Vlnovou Teorií Čísel (Wave Theori Number). Pro kvalitu sudosti platí tyto dvě formule: H = 4.n + 2 a M = 4.n. Formule pro lichá lehká čísla potom L = 4.n – 1 a pro těžká lichá T = 4.n + 1. Celá řada kvalitpřirozených čísel vypadá následně T; H; L; M; T; H; L; M; …. Mezi lichými čísly se nalézají neuspořádaně prvočísla obou kvalit. Součet dvou prvočísel může být jak Hybrid, tak Masív. Hybrid, pokud jsou prvočísla hodnotově shodná (H=5+5=10) nebo shodná kvalitou (H=3+7=10). Masív, jsou-li prvočísla různé kvality (M=3+5=8). Pišme rovnice kvalit:
H = 2L = 2T M = L+T
Kvality Těžká, Hybrid, Lehká,Masív jsou v přirozené řadě čísel pravidelně rozloženy. Prvočíselní jsou jak Lehcí, tak Těžcí kluci (lichá čísla – lišáci). Problém spočívá v tom, jak nalézt „Rozpad“ sudého čísla E (H čiM) na dvě části tak, aby vzniklé zlomky dali v součtu hodnotu děleného čísla. Každé sudéčíslo lze z definice rozpůlit, a proto na jeho obrazu se nachází půlící bod „C“. Pro představu doporučuji vidět půlící bod jako lokalitu na úsečce, která představuje hodnotu obecného sudého čísla. Pokud půlící bod představuje číslo C a je liché, potom hodnota sudého čísla před rozpadem je kvality Hybrid. Jestliže číslo C je sudé, potom hodnota sudého čísla před rozpadem je kvality Masív.
Analýza situací. Symbolem Q vyjadřujme počet čehosi, co se nachází v indexu. Pokusme se vyjádřit počet všech možných rozpadů (R) každého sudého čísla (E) na dvě lichá čísla (U). Počet rozpadů značme symbolem QRE. Do hodnoty čísla E včetně se nachází polovina čísel lichých (QU) a polovina sudých (QE) z počtu E. Jestliže E je číslem hybridním, pak rozpad H = U+U zvyšuje počet rozpadů QRH o jednotku, čímž se číselně vyrovná počtu QRE následujícího Masívního sudého čísla (M=H+2).
Předpokládáme, že vztah E=P+P platí pro každé E, dokázat ale neumíme. Počet rozpadů pro dvě za sebou jdoucí sudá čísla (H→M) je shodný. Způsobuje to rozpad hybridního čísla na dvě identická lichá čísla. Ke každému rozpadu (až na avizovanou výjimku) spotřebujeme dvě různá lichá čísla, jejichž součet dá právě hodnotu čísla E. Pro zjištění počtu možných rozpadů (dvojic lichých čísel) pišme obecný vzorec: QRE = (E + 2) / 4
Jestliže ze vzorce vychází hodnota zlomková, pak použijeme nejbližší hodnotu celou. Příklad: E = 12, počet rozpadů: QRE = (12+2) / 4 = 3. Jestliže C je H, pak rozpady Rn mají podobu Rn = C ± 2n, kdy n = 0; 1; 2; …. . Jestliže centrál C = M, pak rozpady Rn mají podobu Rn = C ± (2n+1). Poslední člen řady rozpadů je Rn = (2C-1) + 1. Počet všech možných rozpadů jest celé číslo QRE = (C+1) / 2, shodný pro dvě za sebou jdoucí sudá čísla:
Pár prvních příkladů: 2 (1+1);4 (3+1; 2+2);6 (5+1; 3+3);8 (7+1; 5+3);10 (9+1; 7+3; 5+5);12 (11+1; 9+3; 7+5);14 (13+1; 11+3; 9+5; 7+7); 16 (15+1; 13+3; 11+5; 9+7); 18 (17+1; 15+3; 13+5; 11+7; 9+9); 20 (19+1; 17+3; 15+5; 13+7; 11+9); 22 (21+1; 19+3; 17+5; 15+7; 13+9; 11+11); 24 (23+1; 21+3; 19+5; 17+7; 15+9; 13+11); 26 (25+1; 23+3; 21+5; 19+7; 17+9; 15+11; 13+13); 28 (27+1; 25+3; 23+5; 21+7; 19+9; 17+11; 15+13); 30 (29+1; 27+3; 25+5; 23+7; 21+9; 19+11; 17+13; 15+15); 32 (31+1; 29+3; 27+5; 25+7; 23+9; 21+11; 19+13; 17+15)
Pišme počet dvojic splňujících podmínku pana Goldbacha. (Čísel sytě napsaných):
2 (1;0); 4 (0;1);6 (2;1);8 (2;1);10 (2);12 (2;1);14 (3;2);16 (2;1);18 (3;2);20 (3;2);22 (3);24 (4,3);26 (3);28 (2;1);30 (4);32 (3;2);…
Jestliže matematická veřejnost v kvasu doby za bouřlivých diskusí dospěla k názoru, že jednotka není prvočíslem, ačkoliv je prvním stvořeným číslem, pak rozpad dvojky je nemyslitelný. Dvojici (manželství A+E) nelze rozloučit.Čtveřici ano, jako součet dvojice prvního prvočísla (2): 4 = 2+2. Pokud nelze do počtu zahrnovat rozpady, v nichž se nachází jednotka, pak se počet správných rozpadů o jednotku sníží (viz. druhý počet v závorce).
Mějme číslo E=100, kdy počet uspořádaných dvojic lichých čísel je 25 a počet prvočísel do E je 24. Je málo pravděpodobné, že by jedna z 25 dvojic lichých čísel nebyla tvořena dvěma prvočísly. Znamenalo by to, že se ve dvojici lichých čísel pokaždé setkalo prvočíslo P s druhým lichým číslem K. Taková situace by nastala jen za předpokladu, že by Prvočísla a Kompozitní čísla byla v přirozené řadě čísel střídavě rozložena. Hned na počátku řady tento předpoklad neplatí. První prvočísla (2;3;5;7;11;13;17;19) hrubě narušila pravidelnost, a tím na velmi velkou délku řady sudých čísel (až neomezenou?) zbortila možnost absolutního výskytu dvojic E = P+K. Prvočíselnost se nese na vlnách mohutnosti až do nekonečna!
Motto: Prvočísla si vůbec dělají, co chtějí, a v tom je ta potíž při práci s nimi. Zkoumané prvočíselné dvojice do E = 100 jsou tyto (59+41); (71+29); (89+11); (97+3). Josef Ježek
