Článek
PROČ NÁM TO TAJILI?
Když v šestém století před Kristem objevil Pythagoras „řezačku na plochy“, byl z toho natolik šťasten, že nechal bohům obětovat stádečko volů, na což se dodnes vzpomíná. Nic tak úžasného se do té doby v geometrii nepovedlo. Ve slabikáři geometrie naleznete obrázek, kde je obraz pravoúhlého trojúhelníku a na jeho třech stranách jsou namalovány dvoubarevné šachovnice. Na jedné odvěsně je devět čtverečků (3×3), na druhé šestnáct (4×4) a na přeponě dvacet pět čtverečků (5×5). Ano, takto se dodnes ve školách mluví o Pythagorově větě. Když se sečte počet čtverečků na obou odvěsnách, je jich právě tolik jako na přeponě. Čtverečky symbolizují, že všechny tři šachovnice představují čtverce.
Slovíčko „čtverec“ má minimálně dva významy. Ten geometrickýznamená, že se jedná o rovinný objekt, druhý pravidelný polygon (mnohoúhelník). Jeho definice už není tak snadná, jak by se na první pohled mohlo zdát. Takový trojúhelník je za každých okolností konvexní, nemá tendenci mít propadlé bříško. Proto je vždy nositelem vlastnosti zvané rovinnost, proto i vždy rovinu definuje. O dalších polygonech to už s jistotou nemůžeme říci. U slova čtverec už nestačí říci, že má čtyři stejně dlouhé strany. To má totiž také kosočtverec nebo prostorová cyklika se dvěma pravými úhly mezi dvěma dvojicemi stran (hřeben). Je proto trochu záhadou, jak si poradili starověcí stavitelé v Gíze a vytvořili rovinnou plochu o rozměrech větších než 230 × 230 metrů. Teodolity a jiné dnešní moderní přístroje asi neměli. Hadicové vodováhy (šlaufky) nevím. Napínači provazů byli sice zdatní, ale na délce půl kilometru je průhyb značný. Možná udělali rýhu hlubokou pár centimetrů po obvodu a nanosili do ní vodu, čímž jim voda pomohla říci, kde dorovnat a kde prohloubit „základovou desku“. Voda ještě nikdy nezklamala. Kromě rovinnosti zajišťovala i kolmost na základnu, svislost.
To máme vytvořenou rovinu, ale jak stavbu založíme. Dneska zedník (i zednář) ví, že třináct uzlíků shodně vzdálených na provázku stačí k určení pravého úhlu, protože pan učitel jim ve škole řekl. Napnutím provázku v poměru tři, čtyři a pět úseků vytvoří pravý úhel, když spojí první a poslední uzlík. Pro velkou přesnost založení stavby by však potřebovali třičtvrtě kilometru dlouhý provaz. Provaz se však dá využít i tak, že na něm najdeme polovinu, stejně jako na druhém provaze stejně dlouhém. Středy spojíme a z volných napnutých konců vytvoříme „pavoučka“ (pravoúhlý kříž). Konce ramen musí být od sebe stejně daleko. Čtverec je definován úhlopříčkami! Kolmost (R) je polovinou přímosti (π/2), a k jejímu zhotovení vystačíme s provázkem (jako kružítko) a dvěma kolíky.
Druhý (algebraický) obsah slova „čtverec“ značí součin dvou délek vzájemně kolmých (x.x nebo x.y), tj. plošnost čtverce nebo obdélníku. Pythagoras přišel na to, že plošnost(mohutnost plochy) lze dělit bezezbytku na dvě menší plochy s tím, že si budou všechny tři tvarově podobné. Velký čtverec na dva menší čtverce, velký kruh na dva menší kruhy, plášť (povrh) velkého elipsoidu na dva menší pláště. No prostě, jakýkoliv plošný tvar řezat na dva menší. Tou řezačkouse stal pravoúhlý trojúhelník. Možná je i opačná operace, sváření dvou ploch na jedinou výslednou, svářečkou je opět pravoúhlý trojúhelník.
Když se Mekka řecké vzdělanosti přesunula z Athén do Egyptské Alexandrie, mladí filosofové, matematici, astronomové a fyzici dělali úklid v dosavadním poznání. Jistý Euklidesdošel k závěru, že plošnost jednoho geometrického obrazce se může rozdělit i na dva trochu tvarově odlišné, nebo jeden na jeden jiný. Například čtverec na dva obdélníky, nebo čtverec na jeden obdélník. Řezačka a svářečka v jedné dílně.
Před lety jsem se detailněji zabýval touto problematikou, a napadlo mne, zda by nebylo možné vytvořit transformátor,který by měnil jeden obdélník v jiný, ale stejné plošnosti. Ukázalo se, že konstrukce tohoto stroje není až tak složitá. Člověk prohlédnuvší mysl Euklida ví, že „výška“ spuštěná z vrcholu s pravým úhlem (R) na přeponu, trojúhelník rozdělí na dva menší tvarově identické. Bez jakýchkoliv slov vidí, že plocha menších trojúhelníků nad odvěsnami (staly se nově jejich přeponami) je v součtu plochou mateřského trojúhelníku. Tady se vytratily šachovnice nad odvěsnami a přeponou, ale nahradily je trojúhelníky porozené jedním „císařským řezem“ vedeným z Rvrcholu do patního bodu PC výšky na přeponě. Dvě dcery oddělené výškou jsou k nepoznání od matky. Pokud i ony jsou schopny rodit díky svým výškám, dostáváme čtyři vnučky, podobou identické se svými matkami i s babičkou.
Výšky dceřiných trojúhelníků vycházejí z paty PC a jsou kolmé na odvěsny (a) a (b) matky, přičemž jejich patní body PA a PB dělí tyto odvěsny na dvě části. Součin částí odvěsen vycházejících z úhlu Rpředstavuje obdélník určité plošnosti, a součin zbývajících části odvěsen představuje také obdélník, a to téže plošnosti. Zde tedy dochází k transformaci rozměrů jednoho obdélníka v druhý. Nechápu, proč nám to ve škole tajili.
Josef Ježek
