Článek
PLNOST PROSTORŮ
Fyzici říkají, že „prázdnota neexistuje“. Zřejmě mají pravdu. To známé školské pořekadlo o stroji známém jako vývěva říká: „Vývěva je když, chcípne myš a nezvoní zvonek“. Stroj tohoto názvu odstraní z určitého uzavřeného objemu vzduch, takže se nemůže vlnit a dělat hluk. A pak, nejen myš, i většina živočichů potřebuje pro svoje žití kyslík, kterého se v okolním vzduchu nachází kolem dvaceti procent. Bez něj není vyšší forma života možná.
Pokud je uzavřený prostor průhledný, nebo alespoň průsvitný a bez otvorů, potom je uvnitř elektromagnetické záření ve formě světla. Je-li na povrchu krytu elektrostatický náboj, potom je uvnitř jeho intenzita nulová. Stručně řečeno, uzavřený bezvzdušný, světelně, elektricky i magneticky odstíněný prostor, nemůže být „totálně prázdný“, protože je v něm gravitační působení, které nějak neumíme odstínit od působení „vakuového obalu“. A to i při nezrychleném, tedy rovnoměrném relativním pohybu volným prostorem. Smiřme se tedy s tím, že v „prázdném“ dvou nebo trojrozměrném prostoru jsou pouze objekty matematické, které však tyto prostory mohou bezezbytku vyplnit.
Třeba taková „síťovaná žirafa“ má kůži pomalovanou tmavohnědými obrazci, které od sebe oddělují světle žluté „hraniční štěrbiny“. Prostě, většina zvířeny s barevnými kabáty (tygři, kočky, akvarijní a jiné ryby, motýle a vosy) se takto brání nebo varuje, stejně jako mochomůrky tygrované. Speciální geometrie se zabývá takovými plošnými objekty, které bezezbytku vyplní celý dvojrozměrný prostor. Už děti v mateřské školce takové objekty poznají. Jsou to příkladně hrací karty obdélníkové, čtvercové (pexeso), zámkové (pucle), apod. Vědí také, že prostor beze zbytku vyplní kostky nebo kvádry.
Při studiu těchto objektů zjišťujeme, že „podstat obrazců“ je omezený počet. Rozhodují není tvar ohraničené plochy, jak by se mohlo na první pohled zdát, nýbrž kvalita hranic. A zase, nikoliv jednotlivé délky (jejich proporce), ale režim rozmístění uzlových hraničních bodů. Hraniční Uzlový Bod (UB) je takový, v němž se čárová hranice štěpí na dvě a více hran. Jak si to představit? Někde myšlenkově vstoupíte na obrysovou hranu (odděluje dvě „různá“ pole) a myšleným pohybem po ní narazíte na bod, kde lze pokračovat po hraně vpravo nebo vlevo, jeli uzel trojmocný. Pokud je více jak trojmocný, pak je rozhodování složitější, neboť logicky máte více voleb, výstupů. Například tři či více.
Teprve nyní nastává operace hledání tvaru objektů, které umožní shodnou geometrickou kvalitu všech tvořících obrazců.
Mezi požadované a oceňované mozaiky patří takové, kdy všechny segmenty jsou „téhož tvaru a velikosti“. Celkový „obraz“ je tvořen prvky výhradně téže kvality. První, které nás napadají, jsou prvky tvaru „pravidelných polygonů“. Jsou pouze tři. Rovnostranný trojúhelník (trigon), čtverec (tetragon) a pravidelný šestiúhelník (hexagon). Jejich „deformacemi“ dostáváme nepředstavitelný počet všech možných segmentů, které splňují prvotní podmínky. Tvar (počet UB téže mocnosti) a velikost pole.
Někdy jsme až překvapení variabilitou obrysů pole. Například neomezená cihlová zeď z obdélníkových stěn je stejné kvality jako včelí plást ze šestiúhelníků pravidelných nebo kosých. Na cihle upevněné ve zdivu vidíme na jejím obvodu šest trojmocných UB. „Násobnost stěn“ a „mocnost uzlů“ jsou nepřímo úměrné. Trojúhelník má ve vrcholech šestimocný UB. Čtyřúhelník má ve hrotech čtyřmocný UB. Šestiúhelník má ve hrotech trojmocné UB. Pokud necháme vnitřní plochu šestiúhelníku rozpadnout na tři kosočtverečné, pak jejich tři hrany vytvoří trojmocný UB, a mocnost původních obvodových UB se zdvojnásobí, ze třímocných na šestimocné.
Rovinnou plochu pravidelnými pětiúhelníky neumíme bezezbytku pokrýt. Prostorovou plochu rozlámanou jako povrch dvanáctistěnu však ano. Je to pak poslední povrch pravidelného tělesa. Pravidelné šestiúhelníky se „nesbalují“, a proto nepokryjí žádný mnohostěn, dokonale však pokrývají rovinu. Není pravda, že žádný pětiúhelník nepokryje bezezbytku rovinu. Existuje takový, který to dokáže. Součet vnitřních úhlů musí být ∑α = 3π, přičemž jde o tři úhly pravé (π/2) a dva úhly tupé (3π/4). Společné obrysové (čárové) hranice vice těchto pentagonů tvoří střídavě svastiky a řecké (rovnoramenné) kříže. Stejně tak se v celém obraze střídají UB trojmocné a čtyřmocné. Jiné zobrazení není známo.
Obrazy tvořené dvěma druhy segmentů plní učebnice s touto tematikou. Jde o hru, zlepšující vhled do geometrie. I nositel Nobelovi ceny fyzik a matematik prof. Roger Penrose se tímto tématem dlouho dobře bavil, a zbylo po něm „dláždění“ ze dvou různých kosočtverců s poměrem ploch ve zlatém řezu. Nalézt algebraickou či geometrickou plnost potěší umělcovo oko. Matematika nachází uplatnění v každém problému, pokud ten problém odhalíme. Když někde domněle nic není, ani tmavá hmota či tmavá energie, může tam být číslo nebo tvar. Na kulovité ploše nacházíme identické sférické trojúhelníky, které ji bezezbytku pokryjí, čímž jejich konstantní prostorové zakřivení může představovat gravitační působení.
Josef Ježek
