Článek
Zpátky k Fermatovi
Ve světě matematickém se občas objevují neuvěřitelné situace. Banální zadání problému zaměstná na stovky let tisíce profesionálních matematiků i počtářů, tedy amatérů. Mistrem na vymýšlení problémů byl v polovině sedmnáctého století „amatér“ Piere de Fermat. V práci královského soudce se občas nudil, a tak si pro sebe počítal a vymýšlel hádanky. Jeho nejpovedenější kousek byla otázka, zda může nastat rovnováha třetích mocnin tří celých (a;b;c) čísel, obecně: a3+b3= c3.
Někteří jeho životopisci se domnívají, že ho taková blbost napadla právě v okamžiku, když si v učebnici četl o Pythagorově větě, obecně: a2 + b2 = c2. Možné to je, stačí jen zaměnit součet dvou ploch (kvadratur) za součet dvou objemů (kubatur). Prý na okraji listu učebnice si udělal tužkou poznámku, že problém vyřešil. Někdy máme pocit, že jsme už na něco přišli, a druhý den si nejsme jisti výsledkem. Možná se to přihodilo i panu soudci.
Říká se, že když Pythagoras přišel se svým objevem, udělal velký mejdan a zmátl současníky nějakými čtverci. Dnes už bezpečně víme, že se nejedná o součet ploch dvou čtverců, nýbrž součet plochy čtverce s plochou obdélníka. Zapišme:
a2 + (c-a).(c+a) = c2.
Pokud je pravda, že Fermat našel řešení hádanky, pak se musíme ptát, jaký měl ve své době matematický aparát. Eliptické funkce to zřejmě nebyly. Z doby Řeků si pamatoval, že existují celá čísla „lichosudá“ (6=2.3), sudosudá (8=2.4) a licholichá (15=3.5). Sudá čísla (ženská) mají vždycky navrch, kdykoliv se dostanou „do křížku“ s čísly lichými, mužskými.
Dnes rozlišujeme dva druhy sudých (Eviných) čísel (E), a to Masívně sudá (M), původně sudosudá, a slabě (Hybridně) sudá (H), původně lichosudá. Lichých celých čísel (mužských – Unsymetrik) máme také dvě party. Těžká lichá (T) jsou o jednotku „těžší“ než Masívy, Lehká lichá (L) jsou o jednotku „lehčí“ než Masívy. Zopakujme roztřídění: E (H; M) a U (L; T). Řadu celých čísel tvoří pravidelně se střídající kvality: T; H; L; M; … 1; 2; 3; 0; … , tedy třídy zbytků modulo 4. S tímto materiálem už mohl Fermat pracovat: L=-1; M=0; T=1; H=2
Použitelné kvalitativní uspořádání součtu dvou prvních, druhých, třetích i vyšších (obecně N) mocnin čísel je: U2N = U1N+ EN, protože kvalita celých čísel (U; E) se s mocninou nemění. V případě E2N= E1N+ EN se celá rovnice může dělit mocninou E a dostáváme první tvar rovnice se dvěma lichostmi a jednou sudostí. A tady mohl být Fermat inspirován Pythagorem. (U22= U12+ E2)
U23= U13 + E3 a přepsáním (úpravou) dostáváme: U23 - U13 = E3
Rozdíl mocnin kvality U (U2 > U1) musí mít kvalitu mocniny jediného čísla E. A zde je zakopaný pes. Analyzujme rozdíl třetích mocnin lichých čísel U2 a U1.
U23- U13 = (U2 - U1) . (U22+ U2U1 + U12) = (U2 - U1) . US
Vztah čísel (U2 - U1) zajišťuje sudost pravé strany rovnice. V závorce (US) pro součet tří lichých čísel použijme ke zkoumání problému naše jemné kvality čísel. Přidělené kvality lichých čísel jsou následující. L = -1; T = +1
1) Jsou-ličísla U2 a U1 shodné liché kvality, potom jejich rozdíl je Masiv M, a součtová lichost US je lehká, protože pro obě T platí: US = (12+1.1+12) = (1+1+1) = 3 = L a pro obě L platí: US = ((-1)2 + (-1).(-1) + (-1)2) = (1+1+1) = 3 = L. V obou případech je rozdíl třetích mocnin roven číslu kvality: E = M . L
2)Jsou-li čísla U2 a U1 různé liché kvality, potom jejich rozdíl je Hybrid H, a součin s lichostí US je dvojnásobek lehkého (L) nebo těžkého (T) celého čísla. Rozdíl mezi U2 a U1 je pak E = 2L či 2T, tj. 2; 6; 10; 14; 18; 22; … .
Z uvedených výsledků můžeme udělat následující závěr. Na pravé straně rovnice rozdílů dvou třetích mocnin musí být sudé číslo takové, kdy složka „čisté“ sudosti se složkou „čisté“ lichosti musí být ve stejné mocnině. Konkrétně musí platit.
(EU)2 = E2.U2. Například (2.3)2 = 22.32 = 4.9 = 36.
V případě E = M.L je v součinu s Masívem Lehké liché číslo (L = 3; 7; 11; 15; 19; …), které nikdy nemůže být druhou mocninou jakéhokoliv lichého čísla.
V případě E = H nemůže býtsplněna podmínka stejné mocniny výše napsané, poněvadž hybridní sudost se v druhé mocnině mění v Masívní sudost, a to zde není zřejmé ani možné.
U13+ E3 ≠ U23
Bylo dokázáno (Quod Erat Demonstrandum), že součet dvou třetích mocnin celých čísel nedává třetí mocninu třetího celého čísla.
Josef Ježek
Poznámka:
Hybrid sudost H nikdy nemůže být druhou, třetí ani vyšší mocninou sudosti, pouze mocninou první. Totéž platí i v případě Pythagorovy věty, kdy b ≠ H, tedy pouze M (4; 8; 12; 16; 20, … .). V případě lichého čísla „a“ neplatí žádné omezení, může jím být Lehké „L“ i Těžké „T“ celé liché číslo (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; …). Za muže „c“ si je vybírají budoucí Manželky „M“, zrovna jako mezi lidmi.
