Článek
Lidé jsou již po tisíciletí fascinováni číslem π, které představuje konstantní vztah mezi průměrem a obvodem každé kružnice ve vesmíru.
π je číslo iracionální1) a nelze jej vyjádřit jako zlomek žádných dvou reálných čísel. Například zlomek 22/7 je tak jen velmi přibližný a dostává nás k přesnosti pouze na dvě desetinná místa 3,14. Mimochodem, proto se také čtrnáctý březen (v anglickém obráceném zápisu kalendářního data jako 3.14) vyhlašuje jako „Mezinárodní den pí“.
Z iracionality (neboli „nepoměrovosti“) čísla π také vyplývá, že jej nelze přesně zapsat konečným počtem číslic za desetinnou čárkou2). Jeho zapsanou hodnotu můžeme tedy jen přibližně zpřesňovat výpočtem dalších a dalších desetinných číslic a to do nekonečna. Hodnota bude stále přesnější, ale nikdy nebude úplná a vždy bude do jisté míry číselně neurčitá. Nikdy nebudeme znát přesnou hodnotu čísla π. To je zákon nekonečna. Co je nekonečné, nikdy nebude poznáno úplně do posledního puntíku.
Metod a přiblížení výpočtu bylo a je obrovské množství. Jeden ze způsobů je Archimédova metoda3), která spočívá ve vepsání velkého množství úzkých rovnoramenných trojúhelníků do kružnice a výpočet délky jejich přepon. S dělením trojúhelníků na „užší a užší“ se pak zpřesňuje výpočet, protože výsledný n-úhelník je čím dál více podobný kružnici (je méně „zubatý“). Jedna z nejpoužívanějších metod pro počítačové výpočty pochází od bratrů Chudnovských a je založená na součtu nekonečné číselné řady objevené indickým matematikem Srinivasou Ramanujanem4) :
Variace Ramanujanovy číselné řady pro výopočet π
Na základě této metody je dnes výpočet proveden s přesností na 1014 (tedy sto bilionů číslic)5).
Lidé si ale brzy všimli záhadné vlastnosti, která však není (na rozdíl od jeho iracionality) matematicky dokázaná, je pouze ověřená experimenty6). Čísla v desetinném rozvoji π (a pro vyjádření v jiných soustavách než desítková to logicky platí stejně) se jeví téměř dokonale nahodilá. Jedním z pravidel nahodilosti je rovnoměrné rozdělení všech prvků, tedy, že v dostatečně velkém vzorku (a viz níže výsledek pro prvních 1012) se budou všechny prvky vyskytovat stejně často. S rostoucí velikostí vzorku pak budou četnosti konvergovat k čisté 1/10 pro každou číslici.
Rovnoměrné rozdělení číslic v prvních deseti milionech rozvoje číslic π
Matematici a statistikové správně namítají, že rovnoměrnost rozdělení ještě zdaleka neznamená nahodilost7). U nahodilosti požadujeme spoustu dalších vlastností. Například to, že kombinace sousedních číslic nesmějí být navzájem korelované (to, že např. zleva sousedím s dvojkou a pětkou nesmí nijak zvyšovat pravděpodobnost, že zprava budu častěji sousedit s trojkou a sedmičkou). Ačkoliv matematický důkaz nahodilosti rozvoje čísla π neexistuje, jeden praktický důkaz je k dispozici - desetinný rozvoj čísla π může být využitý jako spolehlivý generátor (pseudo)náhodných čísel8).
Další vlastností nahodilosti je, že dříve nebo později se ve vzorku nahodilých proměnných objeví všemožné vzorce (patterny). Například už na 768 místě je za sebou 6 devítek. Naivní pozorovatel by tak už už chtěl zakřičet otřepané „náhoda? nemyslím si!“, ale naopak pokud by něco takového v nahodilém vzorku chybělo, spíš by to budilo podezření z porušení nahodilosti. Na různých webových stránkách9) můžete prohledávat desetinný rozvoj π a zjistit, na jaké pozici se vyskytuje třeba vaše datum narození, rodné číslo nebo číslo občanského průkazu. Dříve nebo později by se tak v čísle π měly objevit všechny možné kombinace, včetně třeba tak komplexních posloupností číslic, které by v sobě měly zakódovanou bitmapu smajlíka nebo třeba celého Hamleta nebo noty k Beetohovenově Deváté (číslice lze snadno převést na obrázky, písmena nebo noty) .
Jenže je tu problém, číslo π je dopředu přesně spočitatelné. Každá již spočítaná číslice je na vždy daná a už ji žádný výpočet nezmění. Jakápak tedy náhoda, namítnete oprávněně, když ji mohu přesně spočítat? Čísla v příštím tahu Sazky považujeme za dokonale nahodilá, protože nemáme šanci jakkoliv zjistit, jaká padnou. Pokud bychom mohli nějak spočítat nebo superpočítačem nasimulovat přesně příští tah Sazky, měli bychom vyhráno. A ke každé číslici v π vede přesný výpočet. Trik je v tom, že sice vede, ale zvenčí, nikoliv „zevnitř“ uzavřeného systému.
Pokud bychom byli bytosti žijící v jednorozměrném světě číslic π (a neznali bychom tak ani dva rozměry a tedy ani tvar kruhu a jeho vlastnosti) a kdyby se před námi, řekněme každý den, rozsvítila jedna nová další číslice π, považovali bychom výskyt takové číslice za dokonale náhodný. A to i kdybychom si mohli pamatovat všechny již dříve zobrazené číslice a trávit celé dny odhadováním logiky, která stojí za jejich generováním. Bezesporu, bychom uvěřili bychom v dokonalou nahodilost, chaotičnost procesu, který nám každý den vybere a rozsvítí novou číslici.
Pokud ale žijeme vně takového omezeného jednorozměrného světa a víme, že zdánlivou nahodilost řídí s neúprosným determinismem logika konstrukce čísla π (a tedy logika trigonometrie a z ní odvozených číselných posloupností, které jsou vetkané do samotné Matematiky!), potřebovali bychom (a potřebujeme tak i dnes) k odvození každé další číslice jen určitý výpočetní výkon a k němu patřičnou energii (ať už na pohánění počítačů nebo našich mozků, které výpočty realizují).
Představme si tak sebe v našem (tří/čtyčrozměrném světě), kde řadu jevů považujeme za (dokonale) nahodilé, nespočitatelné, neodvoditelné a ze své povahy nedeterministické. Můžeme měřit do nekonečna výsledky opakovaných hodů kostkou. A po třech hozených šestkách za sebou budeme mít stále stejnou pravděpodobnost 1/6, že nám padne další. Můžeme nechat dopadat elektrony podléhající dokonalé kvantové nahodilosti na stínítka v laboratořích a stále a stále budeme dostávat potvrzení o téměř dokonalé nahodilosti těchto jevů. Co když jen neznáme pravidla, která (zvenčí) řídí nahodilost?
Ale pozor, i kdybychom zjistili, že žijeme třeba v počítačové simulaci a hody kostkou v při hře „Člověče, nezlob se“, kterou s vašimi dětmi hraje jejich babička nebo rozhodnutí elektronu, kudy zrovna proletí ve známém dvouštěrbinovém experimentu řídí generátor (pseudo)náhodných čísel v nějakém vesmírném superpočítači v pátém nebo vyšším rozměru nad námi, nemusíme stále ještě zoufat a propadat fóbiím z předurčenosti osudu. I kdyby totiž náš osud byl takto předurčen výběrem zdroje nahodilosti (třeba číslem π nebo druhou odmocninou ze 2, která má s největší pravděpodobností také dokonale náhodný desetinný rozvoj), pořád stojí za to jej žít. Stejně jako další číslice v π vlastně neexistují, dokud je nespočítáme (nepoznáme), stejně tak naše (byť) předurčené osudy, musejí být prožity, jinak zůstanou nepoznány!
Přeji příjemný mezinárodní den π a každému ještě dlouhé odžívání předurčené nahodilosti!
Odkazy a zdroje:
1) What is pi? https://www.livescience.com/29197-what-is-pi.html
3) Archimédův výpočet čísla pí https://www.youtube.com/watch?v=8XaM9ZYxCqU
5) Google Cloud Sets World Record By Calculating Pi to 100 Trillion Digits https://www.pcmag.com/news/google-cloud-sets-world-record-by-calculating-pi-to-100-trillion-digits
6) Analyzing the first 10 million digits of pi: Randomness within structure https://blogs.sas.com/content/iml/2015/03/12/digits-of-pi.html
7) Pi might look random but it’s full of hidden patterns https://theconversation.com/pi-might-look-random-but-its-full-of-hidden-patterns-55994
8) Pi seems a good random number generator – but not always the best https://www.purdue.edu/uns/html4ever/2005/050426.Fischbach.pi.html
Doporučená četba:
Alex Bellos, Alexova dobrodružství v zemi čísel (DOKOŘÁN s.r.o., 2015)
Petr Beckman, Historie čísla π, (Academia, 2021, 2. vyd.)
