Článek
V předminulém článku jsem psal o zdánlivém „informačním paradoxu“ příběhů, díky kterému na čtenáře nebo čtenářky přeneseme mnohem více informačního obsahu, než je prostý počet písmen a slov vyprávění.
Schopnost včas opustit nějaké téma je ceněná vlastnost, ale … ještě je tu moje fascinace Mandelbrotovou množinou.
Mandelbrotova množina je takový ten divný černý brouk:
Mandelbrotova množina nakreslená v programovacím nástroji Scratch pro děti
Uznávám, na první pohled to žádná velká nádhera není. Pokud ale budeme zvětšovat zobrazení, tak se na okrajích černého „brouka“ začnou objevovat nekonečně komplexní (a já dodávám nekonečně krásné) fraktální obrazce. Jako třeba ty na úvodním obrázku k tomuto článku.
Trochu přesněji řečeno ten „brouk“ vzniká zobrazením do roviny, jejíž každý bod představuje komplexní číslo. Komplexní čísla jsou ta, která obsahují imaginární složku a psal jsem o nich zlehka v minulém článku. U každého bodu komplexní roviny v iteracích testujeme, jestli jeho posloupnost daná vzorečkem Zn+1 = Zn2 + C je shora omezená nebo ne. [Konec matematické přednášky.]
Úžasné ale je, že lze napsat naivně jednoduchý počítačový program s doslova pár řádky kódu, který každý libovolný bod roviny „otestuje“ a rozhodne, jestli takový bod k množině patří nebo „jak daleko“ mu k množině zbývá. Těch pár řádků kódu můžete klidně napsat jako makro v Excelu nebo je třeba naprogramovat s dětmi v jazyce Scratch. Získáte nástroj nástroj pro vstup do doslova nového vesmíru.
Když totiž do programu přidáte možnost „zazoomovat“ libovolně hluboko a soustředíte se na vhodnou oblast okraje množiny, vstoupíte do kouzelného světa nekonečných fraktálů s neustále se opakujícími a na první pohled (sobě)podobnými obrazci. Častými jsou třeba kardioidy, jedním z nich je takové to srdíčko bez špičky v hlavní a největší části „brouka“. Mimo jiné, kardioid se vám objeví na hladině hrnku s čajem nebo kávou, pokud na něj z boku svítí slunce nebo jiné světlo.
Dále se setkáme s různými spirálami (často odvozenými od takzvané Fibonacciho posloupnosti) a dokonce vynořujícími se klony celé původní množiny. Obrazce ale nejsou nikdy zcela identické a proměňují se vám před očima a formují se do nových a nových kombinací. Některé oblasti množiny už dokonce dostaly topografická jména. Já sám třeba rád brouzdám oblastí nazývanou „Seahorse Valley“/„Údolí mořských koníků“.
Proč ale znovu mluvím o informačním paradoxu? Vysvětlení je prosté: informaci, kterou definujeme celou nekonečně komplexní množinu, můžeme shrnout do již uvedeného minimalistického vzorečku Zn+1 = Zn2 + C a podmínky o shora omezené posloupnosti. Víc nic. Napíšeme pár řádků kódu a máme přístup ke snově krásnému světu. Jakoukoliv libovolnou výseč množiny lze uložit do počítače jako obrázek, který už zabere zhruba tolik bytů („místa na disku“) jako běžná fotka. Těch obrázků můžeme generovat nekonečně mnoho. Potřebujeme jen čas a výpočetní výkon.
Popularizátor vědy Jiří Grygar říkal kdysi ve svém legendárním seriálu „Okna vesmíru dokořán“ (jednom z mála světlých bodů na šedém nebi tehdejší normalizační televize), že pro první kontakt s mimozemskou civilizací by zvolil Beethovenovu „Devátou“. Kapitán Pickard se v často rozebírané epizodě Star Treku skamarádil se svým protějškem z havarované nepřátelské kosmické lodi vyprávěním zkrácené verze eposu o Gilgamešovi.
Já bych jako úvodní zprávu mimozemšťanům zvolil poslat jednoduchý recept na generování Mandelbrotovy množiny. Ten zabere ještě méně bytů než notový zápis nebo slova příběhu a je přitom ekvivalentem nekonečného množství nekonečně krásných obrazců.
Otázkou zcela mimo matematiku a teorii informace ale zůstává, co činí tato zobrazení v našich očích krásnými? Je na to také nějaký vzoreček?
----
Poznámka: Tímto informačním paradoxem se zabýval také matematik Max Tegmark ve své knížce „Our Mathematical Universe“ a uvažoval, jestli je možné, že množství informace v celém našem vesmíru (navzdory nesmírné bohatosti a rozmanitosti všeho, co nás obklopuje na všech škálách od mikro- po makro-) není třeba odvozeno také z jedné jednoduché matematické funkce…
