Článek
Na základní a střední škole jsem považoval ty záhadné názvy číselných oborů jako jednu ze zákeřností vzdělávacího systému, za další způsob, jak žákům a studentům znepříjemnit život. U celých čísel jsem docela dobře chápal, proč se tak jmenují. U reálných a přirozených jsem už tušil méně. A pak přišla čísla racionální a iracionální a já jsem byl přesvědčený, že ty názvy jsou v lepším případě prostě náhodně zvolená slova ze slovníku. Komplexní čísla si to trochu vylepšila, protože přeci jen mají dvě složky, ale proboha proč tam musí být ta imaginární? No a to jsem ještě netušil, že jako terminus technicus existují transcendentní čísla.
Byl jsem vychováván v přesvědčení, že všechno racionální je správné a všechno iracionální jsou pohádky, které jsou pěkné pro děti, zatímco dospělé mohou snadno svést z cesty „správného“ uvažování. Že díky racionalitě jsme se vymanili z dlouhých staletí iracionalitou živené tmy, náboženství, chudoby a nemocí. Do toho jsem se měl najednou učit o iracionálních číslech. Považoval jsem ten název prostě za nějakou schválnost, omyl nebo dokonce chyták a zkoušku mojí ostražitosti.
Dnes vím, že v názvech číslených oborů je ukrytá velká moudrost založená na jasném až jasnozřivém pozorování světa kolem nás. Přirozená čísla jsou ta, která jsou dobře pochopitelná pro naši základní (přirozenou) intuici, popisují objekty světa, které vidíme kolem sebe a můžeme je pomocí těchto čísel počítat (tři jablka). Celá čísla nás nutí k trochu abstraktnějšímu uvažování, protože zahrnují záporné hodnoty (o jedno jablko méně). Racionální čísla vyjadřujeme zlomkem, poměrem (jedno jablko rozdělím na dvě poloviny), což pořád můžeme snadno rozumově pochopit.
Do reálných (tedy „skutečných“) čísel patří ale ještě iracionální čísla. Jejich zápis je možný jen nekonečně dlouhým desetinným rozvojem. Podprahově tím přiznáváme, že nekonečno je pro nás racionálně neuchopitelné.
Pythagorejci nechtěli přiznat existenci iracionálních čísel a dokonce se prý fyzicky zbavovali všech svých stoupenců, kteří se o těchto číslech dověděli. Zásadním způsobem totiž tato čísla bořila bábovičky na jejich pískovišti jednoduchého světa vzniklého z celých čísel a jejich zlomků.
Existence iracionálních čísel je nesporná. Poloměr kružnice vztažený k jeho obvodu vyjádřený číslem Pí je iracionální číslo. Délka úhlopříčky čtverce odpovídá druhé odmocnině dvojnásobku délky jeho hrany. Odmocnina ze dvou je také iracionální číslo, které můžeme zapsat jen s nekonečným desetinným rozvojem. Kruh se svým poloměrem i čtverec se svojí úhlopříčkou reálně existují. Proto právem také iracionální čísla řadíme mezi čísla reálná.
Jakobychom tím podprahově přiznávali, že jsme si vědomi toho, že realita se nedá popsat jen racionálně, ale že pro popis reality musíme dát i prostor světu, kde nevládne jen prostý a přímočarý rozum.
Tím ale nekončíme. Daleko větší mentální skok musíme udělat, pokud přiznáme existenci imaginárním číslům. Žáci ve škole se učí, že odmocnina ze záporných čísel neexistuje, je „zakázaná“. Nicméně v rámci orwellovského double-thinku jsou ve vyšších ročnících nuceni opakovat, že odmocnina z mínus jedné existuje a nazývá se imaginární číslo. Je v tom nějaký rozpor, jakoby cimrmanovský úkrok stranou, bez kterého by nám ale zůstala skrytá obrovská část matematiky a matematických struktur, které bezesporu existují a nesporně se manifestují ve reálném světě, ve kterém žijeme.
Bez imaginárních čísel by nebylo možné popsat rovnice kvantové mechaniky, Hawking by nepřišel se svojí teorií času. Podivný model kvantové mechaniky se ukazuje být čím dál přesnějším popisem našeho světa, jakkoliv jej stále považujeme za „nepřirozený“, „iracionální“ a „neskutečný/nereálný“. Slovo imaginární mně připadá krásné, mám jej hodně zasociované třeba se slovem fantazie. A také nese informaci o nás lidech, kteří si pohráváme s myšlenkou, že svět popsaný modely pracující s imaginárními čísly, je skutečný svět jen díky imaginaci našeho vědomí, že vzniká jen v našich představách. Albert Einstein říkal, že tento svět je jen iluze, jakkoliv hodně přesvědčivá.
Ani tím ale nekončíme. Ještě existují čísla transcendentní. Definice říká, jsou to taková komplexní čísla, která nejsou kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Nemůžeme je tedy odvodit žádným způsobem z jiných čísel. Třeba Pí nebo Eulerovo číslo jsou transcendentní. (Překvapivě číslo fí označující zlatý řez transcendentní není.)
Já mám raději anglický název „transcendental“, transcendentální zní záhadněji. Připadá mi, jakoby transcendentální čísla přišla do našeho světa někde zvenčí. Čísla s přesahem do jiného světa. Přesto tady nesporně existují a manifestují se v našem světě.
Iracionálních čísel je mnohem více než všech čísel racionálních. A úplně nejvíc ze všech čísel je těch transcendentních. Paradoxně nejmenší množinu tvoří čísla přirozená. Jsou na to jednoduché matematické důkazy, které se dají nalézt třeba na Wikipedii.
Tohle zjištění mě vede k pokoře ve vnímání světa. Přiznávám si, že ta část, kterou bezpečně považuji za přirozenou a ta část, kterou považuji za racionálně uchopitelnou, je vzácným malým ostrůvkem. Pokud bych zůstával ve světě bezpečné racionality, našlapoval bych jen po dlaždicích stvořených z celých čísel a jejich úlomků. Jednal bych podobně jako Pythagorejci (snad jen s tím rozdílem, že bych netopil názorové oponenty v moři).
Matematika nám nomenklaturou svých číselných oborů říká, že existuje neskonale (nekonečně) větší svět, který lze uchopit jen pomocí imaginace nebo připuštěním si přesahu „někam dál“. Tohle zjištění museli před námi udělat už ti, kteří dali číslům, z nichž je tento svět stořen právě taková záhadná jména.
---
Po dopsání článku jsem byl laskavou čtenářkou a pozornou recenzentkou upozorněn na krásnou souvislost v etymologii slova „racionální“. Název racionálních čísel odpovídá jejich povaze zlomků. Zlomek nebo také poměr je v jazycích odvozených z latiny označován jako ratio. Stejný výraz používáme pro rozum, racio. Blízkost dvou významů slov napovídá, jak chápeme rozum: tedy něco, co je odvozené z poměrů, vztahů. Pro rozum je tedy zásadní třeba kauzalita (vazba příčiny a důsledku). Cokoliv, co nemůžeme jednoznačně odvodit ze vztahů mezi tím, co již známe, považujeme za nerozumné. To ovšem neznamená, že to, co je za rozumem, je špatné nebo neexistující.
