Článek
KŘIVOST, KVADRATURA, KUBATURA
Geometrickým objektům přisuzujeme kvality podle toho, v jakém světě je nacházíme. Všechny v záhlaví se vyskytují v trojrozměrném Euklidovském světě. Kubatura je prostor uzavřený kvadraturou (plochou) uzavřenou do sebe. Existují objekty, jejichž tvar je dán jediným parametrem, nulovou křivostí čár a ploch. Kromě pěti pravidelných polyedrů (mnohostěnů) a nekonečného počtu pravidelných polygonů (mnohoúhelníků) je to úsečka a rovina.
A potom existují dva objekty, jejichž vlastnosti se vymykají všem těm předchozím. U obou pozorujeme jedinou konečnou křivost, u jednoho ještě jednu nulovou. Jsou to objekty lidskému oku libé, bez zlomů a hrotů, které dostaly jména: Kružnice a Kulovitá plocha. Starověcí Egypťané při pozorování Slunce hledali pro něj vhodné jméno. Nazvali jej bohem Re (Ra). I křesťané použili pro spasitele lidstva výraz král, Re-xus. Možná tak nějak vznikl i název Ra-dius (diuv) pro objekty, které charakterizuje.
Pro délku obvodu a průměru kružnice musí existovat převodní konstanta, v níž je skryt tvar všech podobných objektů. Staří mudrci k její hledání vystačili s provázkem. Provázkem omotali kmen stromu, potom v tomtéž místě kmen kolmo uřízli, obě délky provázku na desce napřímili a vzájemně porovnali. Vždy jim vyšel stejný poměr obvodu (délky) ku průměru kmene, vždy větší než tři. Správnost matematici potvrdili na pravidelném šestiúhelníku, kdy obvod představuje šest shodných úseček ku úhlopříčce tvořené dvěma těmito úsečkami. A potom bylo nutné přidat kousek provázku na jeho vypuklé (zaoblené) vnější hrany. Tedy tři a kousek průměru, přibližně 22:7.Nikdo tenkrát nemohl tušit, jak důležité bude toto číslo (konstanta) ve vyšší matematice. Říkáme mu Pí (π), a je spočítáno na miliony desetinných míst.
Křivost kružnice (1/R)) pak definuje velikost uzavřené rovinné plochy, Kvadraturu Kruhu. Jestliže kružnici zakreslíme do čtverce, pak vidíme, že jeho plocha je menší než čtyři čtvrtiny čtverce (4R2). A je to právě v poměru čísla π/4, tedy plocha kruhu P = π.R2. Nyní si představme, že kruh je vystřižen z tenké pryže a slepen po obvodu s druhým stejně velkým kruhem. Vložíme-li mezi ně stéblo a začneme nafukovat, začne se tvořit tvar „létajícího talíře“ a až v závěrečné fázi dostaneme balónek kulovitého tvar. Povrch poloviny balónku je dvakrát větší než původní kruh. Celkem potom povrch balónu je čtyřnásobkem původního kruhu. Jde tedy o „kvadraturu povrchu kulovitého tělesa“ zvaného koule.
Ve starověku žil jeden muž, o němž nevíme, zda jeho předci byli zemědělci, ale o kterém můžeme říci, že byl obdařen „selským rozumem“. Na co sáhl, to se mu zdařilo, protože analyticky uvažoval. Už věděl, že povrch (S) kulovitého tělesa (S = 4 π R2 ) může pokreslit trojúhelníčky nebo čtverečky, jejich vrcholy spojit úsečkami s bodovým středem koule, čímž dostane štíhlé jehlánky o výšce R, zcela vyplňující vnitřní prostor kulovité plochy. Jejich prostorové těžiště se nachází v jedné třetině výšky = R/3, neboť tento poznatek používal při výpočtu objemu jehlanů a kuželů obecného tvaru základny. Plochu všech základen jehlanů jsme už spočítali (povrch koule), takže jejich celkový objem je ve třetině poloměru koule. V = S . R/3 = 4 π R3 / 3. Taková je kubatura (objem) těles tvaru koule. Jediný parametr R tak stačí ke zjišťení čtyř hodnot tělesa. Délky poledníkových a rovníkových kružnic, plochy středových řezů, plochy povrchu i celkový objem koule.
Kvadratura kruhu, to je název jednoho z nevyřešených geometrických problémů starověku, užívaný však dodnes. Neví-li si politici rady, řeknou „To je kvadratura kruhu“. Zadání úlohy znělo: Pomocí pravítka a kružítka (provázku) najděte plochu kruhu shodnou s plochou čtverce. Kruh a čtverec jsou dva objekty považované za protivy. Řešení je možné, ale potřebujeme k tomu až nekonečně mnoho času. Po několika krocích se přiblížíme dostatečně k výsledku, začít ale musíme v Egyptě na nekonečně velké pyramidě.
Na hrotu vrcholového kamene (pyramidionu) uchytíme na čtyřech stěnách čtyři ložiska pro přímočará kyvadla neomezené délky. Na čtyři boční stěny hladké pyramidy zakreslíme „hladiny“ shodné výšky jako pyramidion. První rozkyv kyvadel je na celou šíři základny pyramidionu (A=1) a vrací se na třetí hladině o jednu třetinu zpět. Pak se zastaví a kývne na páté hladině o pětinu šířky zpět a na sedmé hladině o sedminu na opačnou stranu. Takto vypadají „tlumené kmity“ kyvadel: 1–1/3+1/5 –1/7+1/9–1/11+ … Po nekonečném počtu kyvů se kyvadla „zastaví“ na pozici s hodnotou 0,785 A∞, šířky poslední hladiny pyramidy.
Čtyři úseky nekonečné základnové hladiny pyramidy A∞ dávají v součtu následující konstantu (číslo): 4 × 0,785A∞ = 3,14 A∞= π. A∞. Takto vypadá jedna z cest, jak nalézt Ludolfovo číslo (π). Vztah mezi plochou (kvadraturou) kruhu a plochou (kvadraturou) čtverce, shodných „plošností“, je následující: Obecně platí, že průměr kruhu (D = 2R) je větší než délka strany čtverce (A).
A2= π . R2
Po sedmi dvojkyvech dostáváme přibližnou hodnotu: π ~ 3,2
Josef Ježek
