Starověká prvočíselná hříčka byla tisíce let k ničemu. Dnes chrání vaše hesla

Když dnes zadáváte jakékoli heslo, posíláte e-mail nebo nakupujete na internetu, spoléháte se na matematický princip, jehož kořeny sahají více než dva tisíce let do minulosti. Jde o prvočísla, tedy o zvláštní skupinu čísel, která fascinovala už starověké matematiky.

Paradoxní je, že po většinu dějin neměla žádné zjevné praktické využití. Byla pouze předmětem intelektuální zvědavosti. Přesto se z nich v moderní době stal jeden z pilířů digitálního světa.

Prvočísla jsou přirozená čísla větší než jedna, která mají pouze dva dělitele – jedničku a sebe sama. Například čísla 2, 3, 5, 7 nebo 11.

Na první pohled nepůsobí nijak výjimečně. Jsou rozházena mezi ostatními čísly zdánlivě chaoticky. Někdy jsou blízko sebe, jindy mezi nimi vznikají velké mezery. Matematikové si už ve starověku všimli, že v jejich rozložení existuje jakýsi skrytý řád, ale nikomu se jej nepodařilo plně odhalit.

Právě tato nevyzpytatelnost se později ukázala jako mimořádně cenná.

První systematické studium prvočísel je spojováno se starověkým Řeckem. Už kolem roku 300 př. n. l. se jimi zabýval matematik Eukleidés.

Právě jemu vděčíme za elegantní důkaz, že prvočísel existuje nekonečně mnoho. To znamená, že bez ohledu na to, jak velké prvočíslo objevíme, vždy existuje ještě větší.

Eukleidova myšlenka je překvapivě jednoduchá. Kdyby prvočísel byl konečný počet, bylo by možné z nich vytvořit nové číslo. To by ale vedlo k zásadnímu sporu. Z toho vyplývá, že žádný „poslední“ prvočíselný člen neexistuje. Tento důkaz je starý více než 2300 let a dodnes se vyučuje na univerzitách po celém světě.

Řekové však netušili, k čemu by jejich objevy mohly jednou sloužit. Šlo o čistou matematiku, provozovanou především pro radost z poznání. Pomocí rozkladu na prvočísla sice lze určovat společné dělitele či násobky několika čísel, ale to bylo po tisíce let vše.

Po staletí se prvočísla stala jedním z nejoblíbenějších objektů matematiků. Snažili se odhalit zákonitosti, které se podle nich objevují.

V 18. a 19. století se do výzkumu pustili velikáni jako Leonhard Euler nebo Carl Friedrich Gauss. Našli řadu překvapivých souvislostí, ale úplné vysvětlení stále chybělo.

Roku 1859 publikoval německý matematik Bernhard Riemann krátkou práci, která obsahovala hypotézu o rozložení prvočísel. Na několika stránkách nastínil myšlenku, jež dodnes patří k největším nevyřešeným problémům matematiky.

Takzvaná Riemannova hypotéza odolává všem pokusům o důkaz už více než 160 let. Její vyřešení by přineslo hlubší pochopení toho, jak jsou prvočísla rozmístěna mezi ostatními čísly.

Ještě na počátku 20. století se zdálo, že prvočísla nikdy neopustí svět akademických učeben. Britský matematik G. H. Hardy dokonce prohlásil, že teorie prvočísel je krásná právě proto, že nemá žádné praktické využití. Ve své době měl vlastně pravdu. Nikdo netušil, že během několika desetiletí se situace dramaticky změní.

Matematika prvočísel byla považována za čistou vědu. Něco podobného jako studium vzdálených galaxií. Sice fascinující věc, ale bez přímého dopadu na každodenní život. Jenže záhy přišla éra počítačů.

S rozvojem digitálních technologií vznikl nový problém. Jak bezpečně přenášet informace mezi dvěma lidmi, kteří se nikdy osobně nesetkali? Řešení přinesla kryptografie. Ukázalo se, že prvočísla mají vlastnost, která je pro šifrování ideální.

Vynásobit dvě velmi velká prvočísla je pro počítač snadné. Pokud ale znáte pouze výsledek, je mimořádně obtížné zjistit, která dvě prvočísla byla použita. Právě na této asymetrii stojí mnoho moderních šifrovacích systémů.

Když se přihlašujete na sociální sítě, nakupujete online nebo používáte zabezpečené webové stránky, pracují na pozadí matematické operace založené na obrovských prvočíslech. Některá z nich mají stovky či tisíce číslic.

Bez této ochrany by bylo mnohem snazší odposlouchávat komunikaci nebo krást citlivá data.

Dnes prvočísla využíváme každý den, avšak stále jim úplně nerozumíme. Matematici pravidelně objevují nová rekordně velká prvočísla a zároveň se snaží vyřešit otázky, které si kladli už jejich dávní předchůdci. Některé problémy přežily celé generace vědců. V tom spočívá jejich zvláštní kouzlo. Čísla, která se zdají být jednoduchá, ukrývají tajemství, jež odolávají lidské inteligenci po tisíciletí.

S vývojem poznání prvočísel se ještě pojí jedna důležitá věc. Ne každé bádání musí mít okamžitý užitek. Často se na zpravodajských portálech v diskuzích u vědeckých článků, například o urychlovači částic nebo pozorování hlubokého vesmíru, setkávám s otázkami typu „a k čemu je to dobré?“, nebo „proč se za tohle vyhazují peníze?“

Jak ale ukazuje případ prvočísel, někdy trvá stovky nebo dokonce tisíce let, než se projeví skutečný význam určitého objevu. To, co se dnes zdá jako nepraktická intelektuální hra, se může v budoucnu stát základem technologií, bez nichž si nebudeme umět představit každodenní život.

Zdroje:

https://www.bristol.ac.uk/maths/research/highlights/riemann-hypothesis

https://theconversation.com/prime-numbers-the-building-blocks-of-mathematics-have-fascinated-for-centuries-now-technology-is-revolutionizing-the-search-for-them-249223

Tony Crilly - Matematika; Universum 2012; ISBN 978-80-242-35-96-7