Článek
Je to legitimní odpověď, ale sama o sobě je nedostatečná. „Protože to patří k všeobecnému vzdělání“ nesmí fungovat jako kruhový argument typu: učíme to, protože jsme rozhodli, že se to učí. Musíme umět vysvětlit, proč právě tento obsah považujeme za součást všeobecného vzdělání, což je opět schopnost, která osvědčuje a žákům demonstruje všeobecné vzdělání učitele.
U otázky žáka „K čemu mi bude vzorec pro řešení kvadratických rovnic?“ bych proto rozlišil dvě různé otázky. První je praktická: Kdy budu tento vzorec v běžném životě používat? Poctivá odpověď zní: možná nikdy. Většina lidí po skončení školy kvadratické rovnice běžně neřeší. Není dobré vymýšlet umělé příklady o drahách míče, rozměrech zahrady nebo podnikatelských výpočtech jen proto, abychom vytvořili zdání bezprostřední praktičnosti.
Druhá otázka je ale vzdělávací: Proč má tento poznatek znát všeobecně vzdělaný člověk? A na ni už odpověď „protože je součástí všeobecného matematického vzdělání“ smysl má — pokud ji dále rozvineme.
„K čemu mi to bude?“ totiž obsahuje skrytý předpoklad. Žák často předpokládá, že se má cenu učit se pouze to, co později přímo použiji, s čímž dnes bohužel mnohý učitel souhlasí. Jenže právě tento předpoklad je v rozporu s ideou všeobecného vzdělání. Kdybychom jej přijali, museli bychom se stejně ptát, k čemu mi bude vědět, kdo byl Karel IV., k čemu mi bude znát stavbu buňky, k čemu mi bude vědět, co je metafora, k čemu mi bude číst Sofokla, k čemu mi bude rozlišovat prvočísla, k čemu mi bude vědět, kde leží Kavkaz.
Na každou otázku bychom pak museli vymýšlet budoucí praktickou situaci. Jenže všeobecné vzdělání není profesní kurz ani návod k obsluze každodenního života, jeho smyslem je vytvořit určitou strukturu poznání světa.
Proč tedy právě kvadratická rovnice a memorování vzorce k jejímu řešení? Protože není izolovaným trikem či kouzlem, ale stojí v určitém místě struktuře matematického poznání, kterou si žák od počátku svého vzdělávání osvojuje a které můžeme zjednodušeně zapsat jako posloupnost konceptů: číslo, početní operace, proměnná, algebraický výraz, rovnice, mocniny a odmocniny, kvadratická rovnice, funkce, parabola, další matematika. Jakmile je jeden koncept vynechán, neprocvičen, nepochopen, stavba se hroutí; a naopak - bez těchto základů nelze postoupit k středoškolské matematice.
Vzorec pro řešení kvadratické rovnice propojuje mnoho toho, co se žák předtím naučil. A zároveň otevírá další poznání. Dokonce příběh, kterým je možné hodinu matematiky oživit, který ukazuje jeho kulturní a intelektuální význam. Zůstaňme u obecně známého vzorce pro rovnice druhého stupně. Renesanční matematika nalezla řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně. Přitom řešit specifické kvadratické problémy uměli již staří Babyloňné (1 800 př. n. l.) a obecný vzorec pro řešení rovnic 2. stupně objevil již roku 628 n. l. indický matematik Brahmagupta a do moderní podoby s dnešní symbolikou (pomocí diskriminantu) vzorec dotvaroval na konci 16. století francouzský matematik François Viète. Vzorce pro řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně byly objeveny také v 16. století.
Potom se několik století hledalo obdobné řešení rovnice pátého stupně — až se ukázalo, že obecné řešení pomocí radikálů neexistuje. Z tohoto problému nakonec vyrostla Galoisova teorie (1830) a moderní abstraktní algebra.
Doplňme, že v roce 1830 Galois našel revoluční způsob, jak určit, zda je konkrétní algebraická rovnice řešitelná pomocí běžných vzorců (algebraických operací a odmocnin). Namísto hledání samotného vzorce se zaměřil na vlastnosti symetrie mezi kořeny rovnice. Tím položil základy moderní abstraktní algebry a zavedl pojem, kterému dnes říkáme Galoisova grupa. Najednou tedy školní vzoreček není izolovanou technikou. Je jedním bodem v několikasetletém příběhu lidského matematického myšlení.
(Dodnes základy teorie grup dodnes neobsahují ani osnovy, tedy RVP pro gymnázia. Je proto třeba si uvědomit, jak málo se z moderní matematiky vlastně vyučuje a je nutné konstatovat, že přes veškeré snahy o redukci učiva, absolventi základní školy, kteří zvládnou spolehlivě spočítat kořeny kvadratické rovnice, se pohybují na úrovni matematiky 16. století. A analogicky absolventi střední školy se většinou nedostávají se svými početními technikami daleko přes počátek 19. století. Návazně není reálně možné, aby studenti střední školy rozuměli některým navazujícím přírodním vědám a informatice, které stojí na matematice posledních dvou set let, s níž se většinou setkají teprve na vysoké škole.)
Ještě důležitější je však argument z paměti a porozumění. Nemůžeme předem vědět, které znalosti se s čím v budoucnosti propojí. Otázka k čemu mi to bude, když žák musí vypočítat desítky či stovky rovnic, aby si techniku výpočtu osvojil, je pochopitelná. Nicméně odpověď, ke které možná časem dospěje je samozřejmě složitější, ale učitel by měl onen všeobecný přehled mít (a to nejen ve svém oboru), aby dokázal naznačit odpověď: zvládneš-li kvadratické rovnice, ukážeme si řešení kubických rovnic, kvartických rovnic; poté přijde na řadu neřešitelnost obecné kvintiky radikály, téma permutace kořenů, grupy, Galoisova teorie a abstraktní algebra.
To je přesně ona síť všeobecného vzdělání, o níž jsme mluvili. A příběh má ještě obecnější pointu: jedním z největších úspěchů matematiky na počátku 19. století nebylo nalezení dalšího vzorce, ale důkaz, že hledaný vzorec v požadované podobě nemůže existovat.
Patnáctiletý žák samozřejmě nepotřebuje znát Galoisovu grupu. Potřebuje však získat první uzel této sítě. Když se s další matematikou setká za pět, deset let, má se nové poznání k čemu připojit.
Žák (a někdy učitel) řekne„Ale vždyť si vzorec může vyhledat“. Samozřejmě, a kalkulačka nebo AI dnes rovnici také okamžitě vyřeší. To ale zaměňuje provedení operace za porozumění matematice. Člověk, který kvadratickým rovnicím rozumí, může při pohledu na x2 + 6× + 10 = 0 předem vědět, že v reálných číslech nebude mít řešení, protože diskriminant bude záporný. Rozumí tomu, co tato informace znamená pro graf paraboly. Dokáže odhadnout, zda výsledek vytvořený kalkulačkou dává smysl. AI mu může dodat: x = − 3 ± i. Ale aby tato odpověď pro člověka něco znamenala, musí již mít vytvořenou příslušnou znalostní strukturu.
Patnáctiletý člověk neví, co bude číst ve třiceti, čím se bude zabývat ve čtyřiceti ani jaké technologie budou existovat, když mu bude padesát let. Jestliže mu proto dáme pouze znalosti, jejichž bezprostřední budoucí užitek dokážeme dnes prokázat, připravujeme ho paradoxně pouze na svět, který už známe.
Všeobecné vzdělání postupuje opačně. Vytváří v dlouhodobé paměti širokou síť poznatků, do níž se mohou pozdější zkušenosti připojovat. A proto je velmi důležité říci: nevím, zda někdy v životě použiješ vzorec pro řešení kvadratické rovnice. Ani to není hlavní důvod, proč se jej učíš. Učíš se jej proto, že matematika je jedním ze způsobů, kterými lidstvo poznává svět, a kvadratické rovnice jsou jedním ze základních uzlů této matematické struktury. Patří proto k matematické části všeobecného vzdělání.
Na druhou stranu nelze obdobnou odpovědí hájit libovolné učivo. Kdyby učitel řekl „Naučte se zpaměti prvních 2000 desetinných míst čísla π, protože to patří k všeobecnému vzdělání,“ odpověď by byla neobhajitelná. Vysvětlit, proč je číslo π iracionální, je ovšem podstatně obtížnější, resp. jak se dopočítat k onomu nekonečnému neperiodickému desetinnému rozvoji.
Musíme být schopni ukázat, proč určitý obsah představuje fundamentální, propojitelný a generativní uzel poznání. Proto otázka žáka „K čemu mi to bude?“ není hloupá. Je to vlastně legitimní kurikulární otázka. Proč právě toto považujeme za natolik významné, aby to znal každý. A stát, tvůrce kurikula i učitel by na ni měli umět odpovědět.
Zdroj:
